Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre cálculo de integrais impróprias. Isso significa que temos que calcular integrais onde os limites de integração vão até o infinito ou onde a função tem algum ponto de descontinuidade. Vamos resolver três integrais diferentes e ver se elas convergem (ou seja, chegam a um valor finito) ou divergem (não chegam a um valor finito).
Passo 2
Primeira Integral:
Aqui, o limite superior é infinito, então é uma integral imprópria. Para resolver, vamos reescrever o limite infinito como um limite finito.
Passo a Passo:
Substituímos o infinito por um valor que tende ao infinito:
Calculamos a antiderivada de :
Avaliamos de a :
Tomamos o limite quando tende ao infinito:
Conclusão:
A integral converge e o valor é .
Passo 3
Segunda Integral:
Nesta integral, o limite inferior é e a função tende a conforme se aproxima de , tornando a integral imprópria.
Passo a Passo:
Substituímos o limite por um valor que tende a :
Calculamos a antiderivada de :
Usamos integração por partes, onde e :
Avaliamos de a :
Sabemos que , então:
Analisamos o limite quando tende a :
tende a .
também tende a (pois quando ).
Então:
Conclusão:
A integral converge e o valor é .
Passo 4
Terceira Integral:
Aqui, temos uma integral sobre todo o eixo real, e a função é definida de forma diferente dependendo de . Precisamos dividir a integral em partes para facilitar.
Passo a Passo:
Dividimos a integral em três partes:
De a
De a
De a
Então:
Calculamos cada parte separadamente.
a) De a :
Antiderivada:
Limite:
b) De a :
c) De a :
Antiderivada:
Limite:
Somamos as três partes:
Conclusão:
A integral converge e o valor é .
Resposta
Todas as integrais são convergentes com os seguintes valores: