Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre cálculo de integrais impróprias. Isso significa que temos que calcular integrais onde os limites de integração vão até o infinito ou onde a função tem algum ponto de descontinuidade. Vamos resolver três integrais diferentes e ver se elas convergem (ou seja, chegam a um valor finito) ou divergem (não chegam a um valor finito).

Passo 2

Primeira Integral:
Aqui, o limite superior é infinito, então é uma integral imprópria. Para resolver, vamos reescrever o limite infinito como um limite finito.
Passo a Passo:
  1. Substituímos o infinito por um valor que tende ao infinito:
  1. Calculamos a antiderivada de :
  1. Avaliamos de a :
  1. Tomamos o limite quando tende ao infinito:
Conclusão:
A integral converge e o valor é .

Passo 3

Segunda Integral:
Nesta integral, o limite inferior é e a função tende a conforme se aproxima de , tornando a integral imprópria.
Passo a Passo:
  1. Substituímos o limite por um valor que tende a :
  1. Calculamos a antiderivada de :
    Usamos integração por partes, onde e :
  1. Avaliamos de a :
Sabemos que , então:
  1. Analisamos o limite quando tende a :
  • tende a .
  • também tende a (pois quando ).
    Então:
Conclusão:
A integral converge e o valor é .

Passo 4

Terceira Integral:
Aqui, temos uma integral sobre todo o eixo real, e a função é definida de forma diferente dependendo de . Precisamos dividir a integral em partes para facilitar.
Passo a Passo:
  1. Dividimos a integral em três partes:
    • De a
    • De a
    • De a
    Então:
  2. Calculamos cada parte separadamente.
    a) De a :
    Antiderivada:
    Limite:
    b) De a :
    c) De a :
    Antiderivada:
    Limite:
  3. Somamos as três partes:
Conclusão:
A integral converge e o valor é .

Resposta

Todas as integrais são convergentes com os seguintes valores:

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