Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes:
integral1^infty 1x^3 d x integral0^1 2 ln (x) d x integral-infty^+infty f(x) d x ; para f(x)= 1x^2 & se |x|>1 x^2 & se |x| <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre cálculo de integrais impróprias. Isso significa que temos que calcular integrais onde os limites de integração vão até o infinito ou onde a função tem algum ponto de descontinuidade. Vamos resolver três integrais diferentes e ver se elas convergem (ou seja, chegam a um valor finito) ou divergem (não chegam a um valor finito).

Passo 2

Primeira Integral:
integral1^infty 1x^3 dx
Aqui, o limite superior é infinito, então é uma integral imprópria. Para resolver, vamos reescrever o limite infinito como um limite finito.
Passo a Passo:
  1. Substituímos o infinito por um valor b que tende ao infinito:
integral1^b 1x^3 dx
  1. Calculamos a antiderivada de 1x^3:
integral 1x^3 dx = -12x^2 + C
  1. Avaliamos de 1 a b:
[ -12x^2 ]1^b = -12b^2 + 12(1)^2 = 12 - 12b^2
  1. Tomamos o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( 12 - 12b^2 ) = 12
Conclusão:
A integral converge e o valor é 12.

Passo 3

Segunda Integral:
integral0^1 2 ln (x) dx
Nesta integral, o limite inferior é 0 e a função ln(x) tende a -infty conforme x se aproxima de 0, tornando a integral imprópria.
Passo a Passo:
  1. Substituímos o limite 0 por um valor a que tende a 0:
integrala^1 2 ln (x) dx
  1. Calculamos a antiderivada de 2 ln(x):
    Usamos integração por partes, onde u = ln(x) e dv = 2 dx:
integral 2 ln(x) dx = 2x ln(x) - 2x + C
  1. Avaliamos de a a 1:
[ 2x ln(x) - 2x ]a^1 = (2(1)ln(1) - 2(1)) - (2a ln(a) - 2a)
Sabemos que ln(1) = 0, então:
-2 - (2a ln(a) - 2a)
  1. Analisamos o limite quando a tende a 0:
  • 2a tende a 0.
  • 2a ln(a) também tende a 0 (pois a ln(a) to 0 quando a to 0).
    Então:
-2 - 0 = -2
Conclusão:
A integral converge e o valor é -2.

Passo 4

Terceira Integral:
integral-infty^+infty f(x) dx ; onde f(x)= 1x^2 & se |x|>1 x^2 & se |x| <= 1
Aqui, temos uma integral sobre todo o eixo real, e a função f(x) é definida de forma diferente dependendo de x. Precisamos dividir a integral em partes para facilitar.
Passo a Passo:
  1. Dividimos a integral em três partes:
    • De -infty a -1
    • De -1 a 1
    • De 1 a +infty
    Então:
    integral-infty^+infty f(x) dx = integral-infty^-1 1x^2 dx + integral-1^1 x^2 dx + integral1^+infty 1x^2 dx
  2. Calculamos cada parte separadamente.
    a) De -infty a -1:
    integral-infty^-1 1x^2 dx = lima to -infty integrala^-1 1x^2 dx
    Antiderivada:
    -1x g|a^-1 = -1-1 + 1a = 1 + 1a
    Limite:
    lima to -infty (1 + 1a) = 1
    b) De -1 a 1:
    integral-1^1 x^2 dx = [ x^33 ]-1^1 = (13 - (-1)^33) = 13 + 13 = 23
    c) De 1 a +infty:
    integral1^+infty 1x^2 dx = limb to +infty integral1^b 1x^2 dx
    Antiderivada:
    -1x g|1^b = -1b + 11 = 1 - 1b
    Limite:
    limb to +infty (1 - 1b) = 1
  3. Somamos as três partes:
1 + 23 + 1 = 83
Conclusão:
A integral converge e o valor é 83.

Resposta

Todas as integrais são convergentes com os seguintes valores:
  1. integral1^infty 1x^3 dx = 12
  2. integral0^1 2 ln (x) dx = -2
  3. integral-infty^+infty f(x) dx = 83

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