Um cabo coaxial de 50 cm de comprimento possui um raio interno de 1 mm e um raio externo de 4 mm . Considere que o espaço entre os condutores seja preenchido com ar e que a carga total no condutor interno seja de 30 nC . Determine a densidade de carga em cada condutor e os campos E e D.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial de 50 cm de comprimento com raio interno de 1 mm e raio externo de 4 mm. O espaço entre os condutores está preenchido com ar, e a carga total no condutor interno é de 30 nC. Precisamos determinar a densidade de carga em cada condutor e os campos elétrico E e de deslocamento D. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como densidade de carga, Lei de Gauss e relação entre E e D.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga no condutor interno. A densidade de carga superficial sigma é definida como a carga total dividida pela área da superfície. Como o condutor interno é cilíndrico, a área da superfície é dada por A = 2pi r L, onde r é o raio e L é o comprimento.
A carga total Q é 30 nC, o raio interno r1 é 1 mm (ou 1 times 10^-3 m), e o comprimento L é 50 cm (ou 0,5 m).
Então, a densidade de carga no condutor interno é:
sigma1 = QA = Q2pi r1 L

Passo 3

Agora, vamos determinar a densidade de carga no condutor externo. Como os condutores estão em equilíbrio eletrostático e o cabo é neutro no geral, a carga no condutor externo será igual em módulo e oposta à carga do condutor interno. Portanto, a carga no condutor externo Q2 é -30 nC.
A densidade de carga no condutor externo sigma2 também é:
sigma2 = Q2A = Q22pi r2 L
onde r2 é o raio externo de 4 mm (ou 4 times 10^-3 m).

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico E no espaço entre os condutores. Para isso, aplicamos a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r, com r1 < r < r2, temos:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde Qenc é a carga encerrada pela superfície gaussiana, que neste caso é Q = 30 times 10^-9 C, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo ( 8,85 times 10^-12 C²/(N·m²)).
A área lateral da superfície gaussiana é A = 2pi r L, então:
E cdot 2pi r L = Qvarepsilon0
Isolando E:
E = Q2pi varepsilon0 r L

Passo 5

Agora, vamos determinar o campo de deslocamento elétrico D. A relação entre D e E no espaço livre (ar) é dada por:
D = varepsilon0 E
Substituindo o valor de E que encontramos:
D = varepsilon0 cdot Q2pi varepsilon0 r L = Q2pi r L

Resposta

A densidade de carga no condutor interno é:
sigma1 = 30 times 10^-9 C2pi times 1 times 10^-3 m times 0,5 m approx 9,55 times 10^-6 C/m^2
A densidade de carga no condutor externo é:
sigma2 = -30 times 10^-9 C2pi times 4 times 10^-3 m times 0,5 m approx -2,39 times 10^-6 C/m^2
O campo elétrico entre os condutores é:
E = 30 times 10^-9 C2pi times 8,85 times 10^-12 C^2/(N·m^2) times r times 0,5 m approx 30 times 10^-92pi times 8,85 times 10^-12 times r times 0,5 N/C
E o campo de deslocamento elétrico é:
D = 30 times 10^-9 C2pi times r times 0,5 m approx 30 times 10^-93,14 times r C/m^2

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