Um cabo coaxial de 50 cm de comprimento possui um raio interno de 1 mm e um raio externo de 4 mm . Considere que o espaço entre os condutores seja preenchido com ar e que a carga total no condutor interno seja de 30 nC . Determine a densidade de carga em cada condutor e os campos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial de 50 cm de comprimento com raio interno de 1 mm e raio externo de 4 mm. O espaço entre os condutores está preenchido com ar, e a carga total no condutor interno é de 30 nC. Precisamos determinar a densidade de carga em cada condutor e os campos elétrico
e de deslocamento
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como densidade de carga, Lei de Gauss e relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga no condutor interno. A densidade de carga superficial
é definida como a carga total dividida pela área da superfície. Como o condutor interno é cilíndrico, a área da superfície é dada por
, onde
é o raio e
é o comprimento.
A carga total
é 30 nC, o raio interno
é 1 mm (ou
m), e o comprimento
é 50 cm (ou 0,5 m).
Então, a densidade de carga no condutor interno é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a densidade de carga no condutor externo. Como os condutores estão em equilíbrio eletrostático e o cabo é neutro no geral, a carga no condutor externo será igual em módulo e oposta à carga do condutor interno. Portanto, a carga no condutor externo
é -30 nC.
A densidade de carga no condutor externo
também é:
onde
é o raio externo de 4 mm (ou
m).
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico
no espaço entre os condutores. Para isso, aplicamos a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
, com
, temos:
Onde
é a carga encerrada pela superfície gaussiana, que neste caso é
C, e
é a permissividade do vácuo (
C²/(N·m²)).
A área lateral da superfície gaussiana é
, então:
Isolando
:
Passo 5
Agora, vamos determinar o campo de deslocamento elétrico
. A relação entre
e
no espaço livre (ar) é dada por:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
A densidade de carga no condutor interno é:
A densidade de carga no condutor externo é:
O campo elétrico entre os condutores é:
E o campo de deslocamento elétrico é: