Um cabo coaxial de 50 cm de comprimento possui um raio interno de 1 mm e um raio externo de 4 mm . Considere que o espaço entre os condutores seja preenchido com ar e que a carga total no condutor interno seja de 30 nC . Determine a densidade de carga em cada condutor e os campos e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial de 50 cm de comprimento com raio interno de 1 mm e raio externo de 4 mm. O espaço entre os condutores está preenchido com ar, e a carga total no condutor interno é de 30 nC. Precisamos determinar a densidade de carga em cada condutor e os campos elétrico e de deslocamento . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como densidade de carga, Lei de Gauss e relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade de carga no condutor interno. A densidade de carga superficial é definida como a carga total dividida pela área da superfície. Como o condutor interno é cilíndrico, a área da superfície é dada por , onde é o raio e é o comprimento.
A carga total é 30 nC, o raio interno é 1 mm (ou m), e o comprimento é 50 cm (ou 0,5 m).
Então, a densidade de carga no condutor interno é:

Passo 3

Agora, vamos determinar a densidade de carga no condutor externo. Como os condutores estão em equilíbrio eletrostático e o cabo é neutro no geral, a carga no condutor externo será igual em módulo e oposta à carga do condutor interno. Portanto, a carga no condutor externo é -30 nC.
A densidade de carga no condutor externo também é:
onde é o raio externo de 4 mm (ou m).

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico no espaço entre os condutores. Para isso, aplicamos a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio , com , temos:
Onde é a carga encerrada pela superfície gaussiana, que neste caso é C, e é a permissividade do vácuo ( C²/(N·m²)).
A área lateral da superfície gaussiana é , então:
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos determinar o campo de deslocamento elétrico . A relação entre e no espaço livre (ar) é dada por:
Substituindo o valor de que encontramos:

Resposta

A densidade de carga no condutor interno é:
A densidade de carga no condutor externo é:
O campo elétrico entre os condutores é:
E o campo de deslocamento elétrico é:

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