Dentro da casca esférica
, a densidade de fluxo elétrico é dada por
. (a) Qual é a densidade volumétrica de carga em
4? (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em
? © Qual fluxo elétrico deixa a esfera
? (d) Qual é a carga contida dentro da esfera
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com raio entre 3 e 4 metros, e a densidade de fluxo elétrico
é dada por
. Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico, densidade de carga e fluxo elétrico. Para resolver as partes (a) até (d), vamos precisar entender como relacionar
com a densidade volumétrica de carga, calcular valores específicos em
, e usar a Lei de Gauss para encontrar o fluxo e a carga contida.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): Qual é a densidade volumétrica de carga em
?
Para encontrar a densidade volumétrica de carga (
), usamos a relação que liga a divergência do campo de deslocamento elétrico
à densidade de carga:
Como estamos em coordenadas esféricas e o campo
só tem componente radial (
), a divergência em coordenadas esféricas simplifica para:
Dado que
, calculamos:
Primeiro, aplicamos a regra do produto:
Simplificando e substituindo de volta:
Agora, substituímos
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Qual é a densidade de fluxo elétrico em
?
A densidade de fluxo elétrico
já está dada pela expressão:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos para a parte c): Qual fluxo elétrico deixa a esfera em
?
O fluxo elétrico
através de uma superfície esférica é dado por:
Como
é radial e uniforme em magnitude para
, o fluxo simplifica para:
Usando
e
:
Passo 5
Finalmente, a parte d): Qual é a carga contida dentro da esfera em
?
A carga contida
pode ser encontrada integrando a densidade volumétrica de carga
sobre o volume da esfera:
Já que
em
e assumindo que a densidade é constante (parece ser o caso neste contexto):
Resposta
(a) A densidade volumétrica de carga em
é
.
(b) A densidade de fluxo elétrico em
é
.
© O fluxo elétrico que deixa a esfera em
é
.
(d) A carga contida dentro da esfera em
é
.
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e
.
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contém uma folha de cargas distribuidas uniformemente com
. Uma segunda folha, com
, ocupa o plano em
. Determine
e
para
e
.