Dentro da casca esférica , a densidade de fluxo elétrico é dada por . (a) Qual é a densidade volumétrica de carga em 4? (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em ? © Qual fluxo elétrico deixa a esfera ? (d) Qual é a carga contida dentro da esfera ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com raio entre 3 e 4 metros, e a densidade de fluxo elétrico é dada por . Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico, densidade de carga e fluxo elétrico. Para resolver as partes (a) até (d), vamos precisar entender como relacionar com a densidade volumétrica de carga, calcular valores específicos em , e usar a Lei de Gauss para encontrar o fluxo e a carga contida.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): Qual é a densidade volumétrica de carga em ?
Para encontrar a densidade volumétrica de carga ( ), usamos a relação que liga a divergência do campo de deslocamento elétrico à densidade de carga:
Como estamos em coordenadas esféricas e o campo só tem componente radial ( ), a divergência em coordenadas esféricas simplifica para:
Dado que , calculamos:
Primeiro, aplicamos a regra do produto:
Simplificando e substituindo de volta:
Agora, substituímos :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Qual é a densidade de fluxo elétrico em ?
A densidade de fluxo elétrico já está dada pela expressão:
Substituindo :

Passo 4

Vamos para a parte c): Qual fluxo elétrico deixa a esfera em ?
O fluxo elétrico através de uma superfície esférica é dado por:
Como é radial e uniforme em magnitude para , o fluxo simplifica para:
Usando e :

Passo 5

Finalmente, a parte d): Qual é a carga contida dentro da esfera em ?
A carga contida pode ser encontrada integrando a densidade volumétrica de carga sobre o volume da esfera:
Já que em e assumindo que a densidade é constante (parece ser o caso neste contexto):

Resposta

(a) A densidade volumétrica de carga em é .
(b) A densidade de fluxo elétrico em é .
© O fluxo elétrico que deixa a esfera em é .
(d) A carga contida dentro da esfera em é .

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