Dentro da casca esférica 3, a densidade de fluxo elétrico é dada por D=5(r-3)^3 ar C / m^2. (a) Qual é a densidade volumétrica de carga em r= 4? (b) Qual é a densidade de fluxo elétrico em r=4 ? © Qual fluxo elétrico deixa a esfera r=4 ? (d) Qual é a carga contida dentro da esfera r=4 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com raio entre 3 e 4 metros, e a densidade de fluxo elétrico é dada por . Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico, densidade de carga e fluxo elétrico. Para resolver as partes (a) até (d), vamos precisar entender como relacionar com a densidade volumétrica de carga, calcular valores específicos em , e usar a Lei de Gauss para encontrar o fluxo e a carga contida.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): Qual é a densidade volumétrica de carga em nabla cdot D = rho ?
Para encontrar a densidade volumétrica de carga ( nabla cdot D = 1r^2 ddr(r^2 Dr) ), usamos a relação que liga a divergência do campo de deslocamento elétrico ddr(r^2 Dr) = ddr(5 r^2 (r-3)^3) à densidade de carga:
ddr(r^2 (r-3)^3) = 2r (r-3)^3 + r^2 cdot 3(r-3)^2
Como estamos em coordenadas esféricas e o campo = 2r(r-3)^3 + 3r^2 (r-3)^2 só tem componente radial ( nabla cdot D = 1r^2 cdot 5 [2r(r-3)^3 + 3r^2 (r-3)^2] ), a divergência em coordenadas esféricas simplifica para:
rho = 54^2 [2 cdot 4 cdot (4-3)^3 + 3 cdot 4^2 cdot (4-3)^2]
Dado que = 516 [8 cdot 1^3 + 48 cdot 1^2] = 516 (8 + 48) = 516 cdot 56 = 28016 = 17.5, C/m^3 , calculamos:
Primeiro, aplicamos a regra do produto:
Simplificando e substituindo de volta:
Agora, substituímos :

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): Qual é a densidade de fluxo elétrico em D = 5(r-3)^3 ar , C/m^2 ?
A densidade de fluxo elétrico D = 5(4-3)^3 ar = 5(1)^3 ar = 5 ar , C/m^2 já está dada pela expressão:
Substituindo :

Passo 4

Vamos para a parte c): Qual fluxo elétrico deixa a esfera em Phi = oint D cdot dA ?
O fluxo elétrico Phi = Dr cdot 4pi r^2 através de uma superfície esférica é dado por:
Phi = 5 cdot 4pi cdot (4)^2 = 5 cdot 4pi cdot 16 = 5 cdot 64pi = 320pi, C
Como é radial e uniforme em magnitude para , o fluxo simplifica para:
Usando e :

Passo 5

Finalmente, a parte d): Qual é a carga contida dentro da esfera em Qtotal = integral0^4 rho cdot 4pi r^2 dr ?
A carga contida Qtotal = 17.5 cdot 4pi integral0^4 r^2 dr = 17.5 cdot 4pi cdot [r^33]0^4 = 17.5 cdot 4pi cdot 643 = 17.5 cdot 256pi3 = 4480pi3, C pode ser encontrada integrando a densidade volumétrica de carga sobre o volume da esfera:
Já que em e assumindo que a densidade é constante (parece ser o caso neste contexto):

Resposta

(a) A densidade volumétrica de carga em é .
(b) A densidade de fluxo elétrico em é .
© O fluxo elétrico que deixa a esfera em é .
(d) A carga contida dentro da esfera em é .

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