Em um sistema trifásico em equilíbrio, a fonte tem uma sequência de fase abe e está conectada em delta. Há duas cargas conectadas em paralelo. A carga 1 está conectada em Y e tem uma impedância de fase 6+j 2 Omega. A carga 2 está conectada em delta e tem uma impedância de fase 9+j 3 Omega. A impedância de linha é 0,4+j 0,3 Omega. Determine as tensões de fase da fonte se a corrente da fase a da carga 1 é 1 A N1=12 ang<= 30^circ A rms.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos um sistema trifásico equilibrado com uma fonte conectada em delta e duas cargas ligadas em paralelo. A carga 1 está conectada em Y com uma impedância de fase e a carga 2 está conectada em delta com uma impedância de fase . Além disso, há uma impedância de linha de . Queremos encontrar as tensões de fase da fonte sabendo que a corrente da fase da carga 1 é rms.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas trifásicos, conexões em delta e Y, impedâncias em paralelo e como calcular tensões e correntes em sistemas equilibrados.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as correntes que passam por cada carga. Sabemos a corrente da fase da carga 1, que está conectada em Y. Como o sistema é equilibrado, as correntes das outras fases serão as mesmas, apenas defasadas em 120°.
Para a carga em Y, a corrente de linha é igual à corrente de fase. Então, a corrente total fornecida para essa carga é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a corrente através da carga 2, que está conectada em delta. Em uma conexão delta, a corrente de fase é Ide, onde é a corrente de linha.
A impedância de fase da carga delta é . Então, a corrente de fase na carga delta será:
Mas precisamos expressar isso em termos das tensões de linha, que estão relacionadas à fonte e às impedâncias de linha.

Passo 4

Vamos considerar as impedâncias de linha. Como as impedâncias são Vfase = Ilinha times Zlinha + Vcarga por linha e o sistema está equilibrado, podemos simplificar o cálculo considerando apenas uma fase.
Sabemos que a tensão de fonte de fase será a tensão na impedância de linha mais a tensão na carga.
Aqui, é a corrente total na linha, que é a soma das correntes das duas cargas.

Passo 5

Vamos somar as correntes das duas cargas para obter a corrente total na linha:
Ilinha = IY + Ide
Sabemos Ide e precisamos encontrar .
Para a carga em delta:
Mas ainda depende de . Precisamos então resolver essas equações simultaneamente.

Passo 6

Vamos substituir Ilinha = 12 ang<= 30^circ + Vfase9 + j3 na equação de Vfase = Ilinha times (0,4 + j0,3) + Vcarga :
Vcarga = IY times ZY = 12 ang<= 30^circ times (6 + j2)
E também sabemos que:
Vcarga = 12 ang<= 30^circ times 6 + j2 = 72 + j24,V
Para a carga em Y:
Calculando :

Passo 7

Agora, substituímos Vfase = Ilinha times (0,4 + j0,3) + 72 + j24 na equação de Ilinha = 12 ang<= 30^circ + Vfase9 + j3 :
E lembrando que:
Temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar .

Passo 8

Vamos resolver as equações passo a passo. Primeiro, expressamos Vfase = (0,4 + j0,3) Ilinha + 72 + j24 em termos de Ilinha = 12 ang<= 30^circ + (0,4 + j0,3) Ilinha + 72 + j249 + j3 :
Substituindo isso na equação de :
Agora, simplificamos e resolvemos para .

Passo 9

Vamos calcular o denominador 9 + j3 = 9 + j3 :
(0,4 + j0,3) Ilinha + 72 + j24
E o numerador:
(0,4 + j0,3) Ilinha + 72 + j249 + j3 = (0,4 + j0,3)9 + j3 Ilinha + 72 + j249 + j3
Dividindo:
(0,4 + j0,3)(9 - j3)9^2 + 3^2 = 3,6 - j1,2 + j2,7 - j0,981 + 9 = 3,6 + j1,590 = 0,04 + j0,0167
Calculando as frações complexas:
Primeiro, para (72 + j24)(9 - j3)81 + 9 = 648 - j216 + j72 - j7290 = 648 - j216 + j7290 = 648 - j14490 = 7,2 - j1,6 :
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Para :

Passo 10

Substituindo de volta na equação de Ilinha = 12 ang<= 30^circ + (0,04 + j0,0167) Ilinha + 7,2 - j1,6 :
Ilinha - (0,04 + j0,0167) Ilinha = 12 ang<= 30^circ + 7,2 - j1,6
Agora, isolamos Ilinha (1 - 0,04 - j0,0167) = 12 ang<= 30^circ + 7,2 - j1,6 :
Calculando .

Passo 11

Agora, expressamos 12 cos(30^circ) + j12 sin(30^circ) = 12 times 0,8660 + j12 times 0,5 = 10,392 + j6,A em forma retangular:
Ilinha (0,96 - j0,0167) = 10,392 + j6 + 7,2 - j1,6 = 17,592 + j4,4
Então:
Ilinha = 17,592 + j4,40,96 - j0,0167
Agora, resolvemos para :

Passo 12

Para dividir dois números complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Ilinha = (17,592 + j4,4)(0,96 + j0,0167)0,96^2 + 0,0167^2
Calculando o denominador:
0,96^2 + 0,0167^2 approx 0,9216 + 0,0003 = 0,9219
Calculando o numerador:
17,592 times 0,96 = 16,896
17,592 times j0,0167 = j0,294
j4,4 times 0,96 = j4,224
j4,4 times j0,0167 = -4,4 times 0,0167 = -0,0735
Somando:
16,896 - 0,0735 + j(0,294 + 4,224) = 16,8225 + j4,518,A
Então:
Ilinha = 16,8225 + j4,5180,9219 approx 18,25 + j4,906,A

Passo 13

Agora que temos Vfase = (0,4 + j0,3)(18,25 + j4,906) + 72 + j24 , podemos calcular a tensão de fase (0,4 + j0,3)(18,25 + j4,906) = 0,4 times 18,25 + 0,4 times j4,906 + j0,3 times 18,25 + j0,3 times j4,906 :
= 7,3 + j1,9624 + j5,475 - 0,3 times 4,906
Primeiro, multiplicamos as impedâncias:
= 7,3 + j7,4376 - j1,4718
= 7,3 + j5,9658,V
Vfase = 7,3 + j5,9658 + 72 + j24 = 79,3 + j29,9658,V
Somando com :

Resposta

As tensões de fase da fonte são aproximadamente .

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