Um grupo de cargas é alimentado por uma fonte trifásica em equilibrio com uma tensão de linha de 4.160 V rms. A carga 1 é 240 kVA a 0.8 fp cm atraso e a carga 2 é 160 kVA a
em atraso. Uma terceira carga é desconhecida, mas sabe-se que ela possui um fator de potência unitário. Se a corrente de linha for 62 A rms, determine a potência complexa da carga desconhecida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema trifásico equilibrado com uma tensão de linha de 4.160 V rms. Temos duas cargas conhecidas:
- Carga 1: 240 kVA com fator de potência (fp) de 0,8 em atraso.
- Carga 2: 160 kVA com fp de 0,92 em atraso.
Além disso, tem uma terceira carga desconhecida que tem fator de potência unitário (ou seja, fp = 1). A corrente de linha total no sistema é de 62 A rms. Nosso objetivo é descobrir qual é a potência complexa dessa carga desconhecida.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como potência complexa, fator de potência, e como elas se relacionam em sistemas trifásicos equilibrados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em sistemas trifásicos equilibrados, a potência total é a soma das potências de cada carga. A potência complexa
é dada por:
Onde:
-
é a potência ativa (em kW), -
é a potência reativa (em kVAR), -
é a unidade imaginária.
Para cada carga, podemos calcular
e
usando o fator de potência:
Passo 3
Vamos calcular
e
para as cargas 1 e 2.
Carga 1:
Carga 2:
Passo 4
Agora, vamos determinar a potência total fornecida pela fonte. Para isso, usamos a tensão de linha e a corrente de linha. Em sistemas trifásicos equilibrados, a potência total é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Sabemos que a potência total é a soma das potências das três cargas:
Onde
é a potência da carga desconhecida. Como estamos lidando com potências complexas:
Mas como a carga desconhecida tem fator de potência unitário, não há potência reativa (
) e
.
Passo 6
Vamos igualar as partes reais e imaginárias:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Calculando
:
Como o sistema está em equilíbrio, presumimos que a potência total está em fase com a fonte, então
.
Agora, calculando
:
Isso indica que há uma inconsistência, pois potência não pode ser negativa. Isso sugere que devemos reconsiderar nossos cálculos de potência total.
Passo 8
Vamos recalcular a potência total corretamente:
Agora, calculamos a potência ativa total:
Mas, precisamos primeiro calcular a potência reativa total para encontrar o fator de potência total.
Passo 9
Calculamos a potência reativa total:
Agora, podemos encontrar
usando:
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora, encontramos
:
Ainda temos um valor negativo, o que não faz sentido. Vamos revisar o processo para identificar onde erramos.
Passo 11
Percebi que houve um erro ao assumir que a potência total
é igual a 224 kVA. Na verdade, 224 kVA é a potência aparente total. Vamos recalcular corretamente considerando as potências ativas e reativas.
Sabemos que:
Então, a potência ativa total:
Agora, calculamos
:
Isso ainda está inconsistente. Vamos tentar de outra maneira.
Passo 12
Vamos considerar que a potência total fornecida pela fonte é a soma vetorial das potências das cargas. Como as cargas 1 e 2 têm fator de potência em atraso, elas contribuem com potência reativa positiva. A carga 3, com fator de potência unitário, não tem componente reativa.
Então:
Sabemos que:
E:
Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
O resultado ainda é negativo, o que indica que a carga desconhecida está consumindo potência ativa negativa, ou seja, fornecendo energia de volta ao sistema, o que não faz sentido no contexto dado. Isso sugere que pode haver um erro nos dados fornecidos ou na interpretação do problema.
Resposta
Após os cálculos, a potência complexa da carga desconhecida é aproximadamente
. No entanto, esse valor negativo indica uma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação do problema, sugerindo que a carga desconhecida estaria fornecendo energia de volta ao sistema.
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.
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