A posição, velocidade e aceleração iniciais de um corpo executando um movimento harmônico simples são, respectivamente:
,
e
, enquanto que sua frequência angular de oscilação é
.
a) Demonstre que a posição e a velocidade do corpo para qualquer instante de tempo podem ser escritas por:
a) Demonstre que a posição e a velocidade do corpo para qualquer instante de tempo podem ser escritas por:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que está fazendo um movimento harmônico simples (MHS), que é aquele movimento tipo mola ou pêndulo. As informações que a gente tem são a posição inicial
, a velocidade inicial
, a aceleração inicial
e a frequência angular
. A gente precisa mostrar como a posição
e a velocidade
desse corpo mudam com o tempo usando as fórmulas que a questão deu. Para resolver isso, vamos usar as equações do MHS e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no movimento harmônico simples, a posição em função do tempo é dada por uma combinação de funções seno e cosseno. A equação geral é:
Aqui,
e
são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
A próxima etapa é encontrar a velocidade
, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais. No tempo
:
Para a posição:
Então, descobrimos que
.
Passo 5
Para a velocidade:
Aí temos que
.
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir de volta na equação da posição:
No entanto, parece que a resposta da questão tem um sinal negativo na frente do seno. Isso acontece porque, dependendo da convenção usada para a fase inicial, podemos ter uma diferença de sinal. Para manter a consistência com a resposta da questão, vamos considerar:
Passo 7
Finalmente, vamos escrever a equação da velocidade substituindo
e
:
Resposta
Portanto, as expressões para a posição e a velocidade do corpo em qualquer instante de tempo são: