Um cabo coaxial consiste em uma superficie cilíndrica condutora muito fina, de raio R, e um cilindro maciço condutor de raio a, ambos compartilhando o mesmo eixo de simetria. A superficie condutora externa é carregada uniformemente, sendo sua densidade superficial de carga dada por +sigma, e o condutor maciço é carregado de forma que ele se encontra em equilibrio eletrostático, e porta uma quantidade de carga por comprimento igual a -2 pi R sigma. Observe que ambos os condutores (maciço e o externo) carregam a mesma quantidade de carga por comprimento, em módulo. Quando necessário, use a Lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas regiões: (i) dentro do condutor maciço (em equilibrio eletrostático), (ii) a< r e (iii) r>R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico em um cabo coaxial! A gente vai usar principalmente a Lei de Gauss da eletrostática para encontrar o módulo do campo elétrico nas três regiões descritas. Precisamos entender as cargas envolvidas e como elas influenciam o campo nas diferentes áreas do cabo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a região dentro do condutor maciço. Quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro dele é zero. Isso acontece porque as cargas livres no condutor se rearranjam de forma que cancelam qualquer campo interno.

Passo 3

Agora, vamos analisar a região onde o raio oint E cdot dA = lambdaencvarepsilon0 . Aqui, estamos entre o cilindro maciço interno e a superfície condutora externa. Para encontrar o campo elétrico nessa região, usamos a Lei de Gauss. Vamos imaginar uma superfície gaussiana cilíndrica com raio E cdot 2pi r L = -2pi R sigma Lvarepsilon0 e comprimento E = -R sigmavarepsilon0 r .
A carga por unidade de comprimento no cilindro interno é E = R sigmavarepsilon0 r . Como estamos dentro dessa região, a carga encerrada pela superfície gaussiana é apenas essa do cilindro interno. Aplicando a Lei de Gauss:
O fluxo elétrico é , então:
Simplificando:
Como estamos interessados apenas no módulo:

Passo 4

Por fim, vamos ver a região onde -2pi R sigma + 2pi R sigma = 0 , ou seja, fora do cabo coaxial. Nesse caso, a carga total encerrada pela superfície gaussiana é a soma das cargas do cilindro interno e da superfície externa. A carga do cilindro interno é E cdot 2pi r L = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0 e a da externa é . Juntas, elas se cancelam:
Aplicando a Lei de Gauss novamente:

Resposta

(i) Dentro do condutor maciço:
(ii) Para :
(iii) Para :

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