Um cabo coaxial consiste em uma superficie cilíndrica condutora muito fina, de raio
, e um cilindro maciço condutor de raio
, ambos compartilhando o mesmo eixo de simetria. A superficie condutora externa é carregada uniformemente, sendo sua densidade superficial de carga dada por
, e o condutor maciço é carregado de forma que ele se encontra em equilibrio eletrostático, e porta uma quantidade de carga por comprimento igual a
. Observe que ambos os condutores (maciço e o externo) carregam a mesma quantidade de carga por comprimento, em módulo. Quando necessário, use a Lei de Gauss para determinar o módulo do campo elétrico nas regiões: (i) dentro do condutor maciço (em equilibrio eletrostático), (ii)
e (iii)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico em um cabo coaxial! A gente vai usar principalmente a Lei de Gauss da eletrostática para encontrar o módulo do campo elétrico nas três regiões descritas. Precisamos entender as cargas envolvidas e como elas influenciam o campo nas diferentes áreas do cabo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a região dentro do condutor maciço. Quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro dele é zero. Isso acontece porque as cargas livres no condutor se rearranjam de forma que cancelam qualquer campo interno.
Passo 3
Agora, vamos analisar a região onde o raio
. Aqui, estamos entre o cilindro maciço interno e a superfície condutora externa. Para encontrar o campo elétrico nessa região, usamos a Lei de Gauss. Vamos imaginar uma superfície gaussiana cilíndrica com raio
e comprimento
.
A carga por unidade de comprimento no cilindro interno é
. Como estamos dentro dessa região, a carga encerrada pela superfície gaussiana é apenas essa do cilindro interno. Aplicando a Lei de Gauss:
O fluxo elétrico é
, então:
Simplificando:
Como estamos interessados apenas no módulo:
Passo 4
Por fim, vamos ver a região onde
, ou seja, fora do cabo coaxial. Nesse caso, a carga total encerrada pela superfície gaussiana é a soma das cargas do cilindro interno e da superfície externa. A carga do cilindro interno é
e a da externa é
. Juntas, elas se cancelam:
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resposta
(i) Dentro do condutor maciço:
(ii) Para
:
(iii) Para
: