Considere uma região com campo magnético uniforme
. Uma partícula de carga
adentra a região com uma velocidade
perpendicular a
. Obtenha a expressão para o raio de curvatura da trajetória executada pela partícula e para sua frequência de angular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma partícula carregada $ q $ que entra numa região com um campo magnético uniforme $ \vec{B} = B \hat{z} $. A velocidade dessa partícula $ \vec{v} $ é perpendicular ao campo magnético. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: o raio da trajetória curva que a partícula vai seguir e a frequência angular dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de física como a força magnética e o movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sente uma força chamada força de Lorentz. Essa força é dada por:
Como a velocidade $ \vec{v} $ é perpendicular ao campo $ \vec{B} $, o produto vetorial simplifica para:
Essa força vai atuar como a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a força magnética com a força centrípeta. A força centrípeta necessária para manter a partícula em uma trajetória circular de raio $ r $ é:
Onde $ m $ é a massa da partícula. Igualando as duas forças:
Podemos simplificar cancelando um $ v $ de cada lado:
Agora, isolando $ r $:
Passo 4
Vamos agora encontrar a frequência angular $ \omega $. Sabemos que a frequência está relacionada ao período $ T $ pelo $ \omega = \frac{2\pi}{T} $. Além disso, a velocidade tangencial $ v $ está relacionada ao período e ao raio pela equação:
Substituindo $ r $ da equação anterior:
Simplificando:
Resposta
O raio de curvatura é dado por $ r = \frac{m v}{q B} $ e a frequência angular é $ \omega = \frac{q B}{m} $.