Considere uma região com campo magnético uniforme B=B z. Uma partícula de carga q adentra a região com uma velocidade v perpendicular a B. Obtenha a expressão para o raio de curvatura da trajetória executada pela partícula e para sua frequência de angular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma partícula carregada $ q $ que entra numa região com um campo magnético uniforme $ \vec{B} = B \hat{z} $. A velocidade dessa partícula $ \vec{v} $ é perpendicular ao campo magnético. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: o raio da trajetória curva que a partícula vai seguir e a frequência angular dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de física como a força magnética e o movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sente uma força chamada força de Lorentz. Essa força é dada por:
F = q v times B
Como a velocidade $ \vec{v} $ é perpendicular ao campo $ \vec{B} $, o produto vetorial simplifica para:
v
Essa força vai atuar como a força centrípeta que mantém a partícula em movimento circular.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a força magnética com a força centrípeta. A força centrípeta necessária para manter a partícula em uma trajetória circular de raio $ r $ é:
r
Onde $ m $ é a massa da partícula. Igualando as duas forças:
Fc = m v^2r
Podemos simplificar cancelando um $ v $ de cada lado:
m
Agora, isolando $ r $:
q v B = m v^2r

Passo 4

Vamos agora encontrar a frequência angular $ \omega $. Sabemos que a frequência está relacionada ao período $ T $ pelo $ \omega = \frac{2\pi}{T} $. Além disso, a velocidade tangencial $ v $ está relacionada ao período e ao raio pela equação:
omega
Substituindo $ r $ da equação anterior:
T
Simplificando:
omega = 2piT

Resposta

O raio de curvatura é dado por $ r = \frac{m v}{q B} $ e a frequência angular é $ \omega = \frac{q B}{m} $.

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