Um cabo coaxial longo, usado para transmissão de sinal de TV, constituído de dois condutores, tem raio interno a e raio externo b.
(b) Calcule a diferença de potencial
devido a este campo elétrico.
(b) Calcule a diferença de potencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre cabo coaxial. O enunciado fala de um cabo usado para transmitir sinal de TV, que tem dois condutores com raios diferentes,
a
e b
. O que precisamos calcular aqui é a diferença de potencial elétrico (ΔV
) entre esses dois condutores. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico em geometria cilíndrica.Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um cabo coaxial. Ele tem um condutor interno (com raio
a
) e um condutor externo (com raio b
). A carga está distribuída no condutor interno, e queremos saber qual é a diferença de potencial entre os dois condutores devido ao campo elétrico gerado pela carga.Passo 3
Vamos começar aplicando a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre os condutores. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
-
é o campo elétrico -
é um elemento de área -
é a carga dentro da superfície gaussiana -
é a permissividade do vácuo
Passo 4
Como o problema tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio .
r
entre a
e b
e comprimento L
. A carga dentro dessa superfície é a carga do condutor interno, que é
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Aqui,
é a área da superfície gaussiana. Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico, podemos encontrar a diferença de potencial elétrico
entre os dois condutores. Sabemos que:
Como o campo elétrico é radial, e o deslocamento também é radial, temos:
Passo 7
Substituindo o valor de
que encontramos:
Passo 8
A integral de
é o logaritmo natural:
Passo 9
Isso pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos:
Como a diferença de potencial é a magnitude, podemos tirar o sinal negativo:
Resposta
A diferença de potencial entre os condutores do cabo coaxial é: