Um cabo coaxial longo, usado para transmissão de sinal de TV, constituído de dois condutores, tem raio interno a e raio externo b.
(b) Calcule a diferença de potencial De devido a este campo elétrico. R De 12 pi varepsilon0 qL ln (ba)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre cabo coaxial. O enunciado fala de um cabo usado para transmitir sinal de TV, que tem dois condutores com raios diferentes, a e b. O que precisamos calcular aqui é a diferença de potencial elétrico (ΔV) entre esses dois condutores. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico em geometria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um cabo coaxial. Ele tem um condutor interno (com raio a) e um condutor externo (com raio b). A carga está distribuída no condutor interno, e queremos saber qual é a diferença de potencial entre os dois condutores devido ao campo elétrico gerado pela carga.

Passo 3

Vamos começar aplicando a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre os condutores. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • é o campo elétrico
  • é um elemento de área
  • é a carga dentro da superfície gaussiana
  • é a permissividade do vácuo

Passo 4

Como o problema tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r entre a e b e comprimento L. A carga dentro dessa superfície é a carga do condutor interno, que é .

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
E cdot 2pi r L = qvarepsilon0
Aqui, E = q2pi varepsilon0 r L é a área da superfície gaussiana. Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico, podemos encontrar a diferença de potencial elétrico ΔV = -integrala^b E cdot dr entre os dois condutores. Sabemos que:
ΔV = -integrala^b E , dr
Como o campo elétrico é radial, e o deslocamento também é radial, temos:

Passo 7

Substituindo o valor de ΔV = -integrala^b q2pi varepsilon0 r L , dr que encontramos:
ΔV = -q2pi varepsilon0 L integrala^b 1r , dr

Passo 8

A integral de ΔV = -q2pi varepsilon0 L [ ln(r) ]a^b é o logaritmo natural:
ΔV = -q2pi varepsilon0 L ( ln(b) - ln(a) )

Passo 9

Isso pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos:
ΔV = -q2pi varepsilon0 L ln(ba)
Como a diferença de potencial é a magnitude, podemos tirar o sinal negativo:
ΔV = q2pi varepsilon0 L ln(ba)

Resposta

A diferença de potencial entre os condutores do cabo coaxial é:
ΔV = q2pi varepsilon0 L ln(ba)

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