Inicialmente, 2, 3 mols de Gás Perfeito, diatômico, estiveram sob pressão de 1,0 atm e a temperatura de 73,0^circ C. Ele foi aquecido até 227,0^0 C e expande se adiabaticamente até a pressão de 1,0 atm. Finalmente, esta amostra de gás é resfriada isobaricamente e retorna ao estado inicial. Determine: (a) a temperatura após a sua expansão adiabática; (b) o trabalho em cada etapa deste ciclo; © a eficiência térmica deste ciclo; (d) a eficiência de um ciclo de Carnot a operar entre as temperaturas extremas do ciclo deste gás.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A questão fala sobre um gás perfeito diatômico que passa por um ciclo com várias etapas: aquecimento, expansão adiabática e resfriamento isobárico. Vamos precisar usar as leis dos gases ideais, as equações para processos adiabáticos e isobáricos, além de entender como calcular trabalho e eficiência térmica. Então, bora lá passo a passo!

Passo 2

Entendendo a Expansão Adiabática
Primeiro, precisamos encontrar a temperatura após a expansão adiabática. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente ( Q=0). A relação entre temperatura e volume (ou pressão) nesse processo para um gás ideal é dada por:
T1 V1^gamma -1 = T2 V2^gamma -1
ou
T1 P1^1-gammagamma = T2 P2^1-gammagamma
Onde gamma = CpCv é a razão dos calores específicos. Para um gás diatômico, gamma = 75 = 1,4.

Passo 3

Aplicando a Relação Adiabática
Sabemos que a pressão final na expansão adiabática volta para 1,0 atm, a mesma inicial. Mas precisamos encontrar a temperatura final após a expansão. Vamos usar a relação:
T1 P1^1-gammagamma = T2 P2^1-gammagamma
Como P2 = P1 = 1,0 atm, essa relação sugere que a temperatura não muda, o que não faz sentido. Provavelmente, houve uma variação no volume durante a expansão. Então, vamos usar outra abordagem: relacionar as temperaturas e volumes.
Como o processo é adiabático:
T1 V1^gamma -1 = T2 V2^gamma -1
Mas não temos o volume inicialmente. Então, vamos usar a relação envolvendo temperaturas e pressões:
T1 P1^1 - gamma = T2 P2^1 - gamma
Rearranjando para encontrar T2:
T2 = T1 (P2P1)^gamma -1gamma

Passo 4

Calculando a Temperatura Após a Expansão Adiabática
Vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
T1 = 73,0^circC = 346,15 , K
T2 = 227,0^circC = 500,15 , K
Agora, aplicando a fórmula:
Tfinal = T2 (PfinalPinicial)^gamma -1gamma = 500,15 , K (1,01,0)^0,41,4 = 500,15 , K
Parece que a temperatura não mudou, o que não faz sentido. Vamos revisar: na expansão adiabática, a temperatura deve diminuir. Então, vamos reconsiderar a abordagem.
Na verdade, o processo é aquecimento de 73°C para 227°C, seguido por expansão adiabática até a pressão voltar a 1 atm. Então, o ponto 1 é antes do aquecimento, e o ponto 2 é após o aquecimento.
Vamos corrigir:
T1 = 73,0^circC = 346,15 , K
T2 = 227,0^circC = 500,15 , K
Durante a expansão adiabática, a pressão volta para 1 atm, então:
T2 (V2V3)^gamma -1 = T3
Como não temos volumes, vamos usar a relação de pressões e temperaturas:
T2 P2^1-gammagamma = T3 P3^1-gammagamma
T3 = T2 (P3P2)^gamma -1gamma
Assumindo que após o aquecimento, a pressão não era 1 atm, mas vamos considerar P2 inicial como P1, e após a expansão volta para 1 atm, então:
P2 = n R T2V1
Sem complicar, vamos usar uma simplificação comum:
Para processos adiabáticos:
T3 = T2 (V2V1)^gamma -1
Como a pressão volta para 1 atm, e originalmente também era 1 atm, o volume aumenta. Então, a temperatura final após a expansão adiabática será menor que T2.
Vamos usar a relação de T3T2 = (V1V2)^gamma -1 e sabendo que P1 V1 = n R T1, e P2 V2 = n R T2, mantendo P3 = P1 após expansão.
Portanto:
V2V1 = T2T1 = 500,15346,15 approx 1,445
Então,
T3 = T2 (11,445)^0,4 approx 500,15 times 0,853 approx 426,7 , K
Convertendo para Celsius:
T3 = 426,7 , K - 273,15 approx 153,55^circC

Resposta

(a) A temperatura após a expansão adiabática é aproximadamente 153,6^circ C.

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