Um cabo coaxial simples consiste em um cilindro condutor infinito, maciço, de raio , carregado com uma densidade linear de carga e uma casca cilíndrica condutora, também infinita e coaxial ao cilindro, de raio e espessura desprezível, uniformemente carregada com uma densidade linear de carga . Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo cabo nas regiões (i) , (ii) e (iii) , onde é a distância medida a partir do eixo comum.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial, que basicamente é composto por dois cilindros infinitos: um cilindro interno sólido de raio com densidade linear de carga , e uma casca cilíndrica externa de raio (sendo ) com densidade linear de carga . A pergunta quer que usemos a Lei de Gauss para encontrar o vetor campo elétrico em três regiões diferentes ao redor desse cabo: dentro do cilindro interno (), entre os cilindros () e fora da casca externa (). Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a simetrias cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática :
Como estamos lidando com cilindros infinitos e simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cabo, de raio e comprimento .
Passo 3
Agora, vamos analisar cada região uma por uma.
(i) Para :
Dentro do cilindro interno, a carga está distribuída uniformemente. A densidade linear de carga é , então a carga dentro do nosso cilindro gaussiano é proporcional ao raio . A carga interna será:
Mas, na verdade, como a densidade é linear, a carga dentro do cilindro gaussiano de raio é:
(ii) Para :
Entre os cilindros, a carga interna ao cilindro gaussiano só vem do cilindro interno, pois a casca externa está fora da superfície gaussiana. Então, a carga interna é simplesmente:
(iii) Para :
Aqui, o cilindro gaussiano envolve tanto o cilindro interno quanto a casca externa. A carga total é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico para cada caso usando a Lei de Gauss.
(i) Para :
A superfície gaussiana é um cilindro de raio . O fluxo elétrico é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
(ii) Para :
O fluxo elétrico é o mesmo:
Resolvendo para :
(iii) Para :
Como a carga total dentro da superfície gaussiana é zero, o fluxo elétrico também é zero:
Resposta
O vetor campo elétrico produzido pelo cabo coaxial é: