Um cabo coaxial simples consiste em um cilindro condutor infinito, maciço, de raio
, carregado com uma densidade linear de carga
e uma casca cilíndrica condutora, também infinita e coaxial ao cilindro, de raio
e espessura desprezível, uniformemente carregada com uma densidade linear de carga
. Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo cabo nas regiões (i)
, (ii)
e (iii)
, onde
é a distância medida a partir do eixo comum.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial, que basicamente é composto por dois cilindros infinitos: um cilindro interno sólido de raio
com densidade linear de carga
, e uma casca cilíndrica externa de raio
(sendo
) com densidade linear de carga
. A pergunta quer que usemos a Lei de Gauss para encontrar o vetor campo elétrico em três regiões diferentes ao redor desse cabo: dentro do cilindro interno (
), entre os cilindros (
) e fora da casca externa (
). Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a simetrias cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática
:
Como estamos lidando com cilindros infinitos e simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cabo, de raio
e comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada região uma por uma.
(i) Para
:
Dentro do cilindro interno, a carga está distribuída uniformemente. A densidade linear de carga é
, então a carga dentro do nosso cilindro gaussiano é proporcional ao raio
. A carga interna
será:
Mas, na verdade, como a densidade é linear, a carga dentro do cilindro gaussiano de raio
é:
(ii) Para
:
Entre os cilindros, a carga interna ao cilindro gaussiano só vem do cilindro interno, pois a casca externa está fora da superfície gaussiana. Então, a carga interna é simplesmente:
(iii) Para
:
Aqui, o cilindro gaussiano envolve tanto o cilindro interno quanto a casca externa. A carga total é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico para cada caso usando a Lei de Gauss.
(i) Para
:
A superfície gaussiana é um cilindro de raio
. O fluxo elétrico é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
(ii) Para
:
O fluxo elétrico é o mesmo:
Resolvendo para
:
(iii) Para
:
Como a carga total dentro da superfície gaussiana é zero, o fluxo elétrico também é zero:
Resposta
O vetor campo elétrico
produzido pelo cabo coaxial é: