Um cabo coaxial simples consiste em um cilindro condutor infinito, maciço, de raio a, carregado com uma densidade linear de carga lambda e uma casca cilíndrica condutora, também infinita e coaxial ao cilindro, de raio b>a e espessura desprezível, uniformemente carregada com uma densidade linear de carga -lambda. Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo cabo nas regiões (i) s, (ii) a e (iii) s>b, onde s é a distância medida a partir do eixo comum.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial, que basicamente é composto por dois cilindros infinitos: um cilindro interno sólido de raio com densidade linear de carga , e uma casca cilíndrica externa de raio (sendo ) com densidade linear de carga . A pergunta quer que usemos a Lei de Gauss para encontrar o vetor campo elétrico em três regiões diferentes ao redor desse cabo: dentro do cilindro interno ( ), entre os cilindros ( ) e fora da casca externa ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a simetrias cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 :
Como estamos lidando com cilindros infinitos e simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com o cabo, de raio e comprimento .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada região uma por uma.
(i) Para Qinterno = lambda cdot sa cdot L :
Dentro do cilindro interno, a carga está distribuída uniformemente. A densidade linear de carga é Qinterno = lambda cdot sa cdot L , então a carga dentro do nosso cilindro gaussiano é proporcional ao raio Qinterno = lambda cdot L . A carga interna Qinterno = lambda cdot L + (-lambda) cdot L = 0 será:
Mas, na verdade, como a densidade é linear, a carga dentro do cilindro gaussiano de raio é:
(ii) Para :
Entre os cilindros, a carga interna ao cilindro gaussiano só vem do cilindro interno, pois a casca externa está fora da superfície gaussiana. Então, a carga interna é simplesmente:
(iii) Para :
Aqui, o cilindro gaussiano envolve tanto o cilindro interno quanto a casca externa. A carga total é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico para cada caso usando a Lei de Gauss.
(i) Para oint E cdot dA = E cdot 2pi s L :
A superfície gaussiana é um cilindro de raio E cdot 2pi s L = lambda cdot sa cdot varepsilon0 cdot L . O fluxo elétrico é:
E = lambda s2pi varepsilon0 a s = lambda2pi varepsilon0 a
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi s L = lambda Lvarepsilon0
Simplificando:
E = lambda2pi varepsilon0 s
(ii) Para E cdot 2pi s L = 0 Rightarrow E = 0 :
O fluxo elétrico é o mesmo:
Resolvendo para :
(iii) Para :
Como a carga total dentro da superfície gaussiana é zero, o fluxo elétrico também é zero:

Resposta

O vetor campo elétrico E = lambda2pi varepsilon0 a s & para s < a lambda2pi varepsilon0 s s & para a < s < b 0 & para s > b produzido pelo cabo coaxial é:

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