A velocidade de fase de uma onda em um líquido cuja tensão superficial é e a densidade é pode ser dada por:
Mostre que a velocidade de grupo pode ser dada por:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre a velocidade de fase de uma onda em um líquido que tem tensão superficial e densidade . A matéria envolvida aqui é ondas em meios materiais, especificamente sobre como calcular a velocidade de fase e a velocidade de grupo de uma onda. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre essas velocidades e usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas velocidades:
Velocidade de fase (): É a velocidade com que uma fase da onda (como o pico) se move no espaço.
Velocidade de grupo (): É a velocidade com que a energia ou a informação transportada pela onda se propaga.
A relação entre a velocidade de fase e a velocidade de grupo é fundamental para entender como as ondas se comportam, especialmente quando há dispersão (ou seja, quando a velocidade depende do comprimento de onda).
Passo 3
A velocidade de grupo é definida como a derivada da frequência angular () em relação ao número de onda ():
Ent��o, para encontrar , precisamos primeiro expressar em função de .
Passo 4
Sabemos que a velocidade de fase está relacionada à frequência angular e ao número de onda pela relação:
Podemos reorganizar isso para encontrar :
Agora, temos em termos de e .
Passo 5
Vamos usar a expressão dada para :
Lembre-se que o número de onda está relacionado ao comprimento de onda por:
Vamos substituir na expressão de :
Passo 6
Agora, substituímos omega = vf cdot k = k cdot raiz(gk + T krho) = raizgk + T k^3rho na expressão de omega(k) = raizgk + T k^3rho :
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada de vg = domegadk = ddk ( gk + T k^3rho )^1/2 em relação a vg = 12 ( gk + T k^3rho )^-1/2 cdot ( g + 3T k^2rho ) para obter vg = g + 3T k^2rho2 raizgk + T k^3rho :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 8
Para simplificar, vamos considerar que estamos procurando uma expressão geral que não dependa explicitamente de vg = raiz2 ( T grho )^1/4 . Observamos que a expressão fornecida para é:
Vamos verificar se conseguimos chegar a essa forma a partir da nossa expressão para .
Passo 9
Assumindo que a contribução dos termos seja balanceada, ou seja, gk = T k^3rho Rightarrow g = T k^2rho Rightarrow k = raizg rhoT e são da mesma ordem, podemos igualar eles:
Passo 10
Substituindo vg = raiz2 ( T grho )^1/4 na expressão de :