Um cilindro circular reto, maciço, infinito e de raio
encontra-se uniformemente carregado com uma densidade volumétrica de carga
.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
. Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino, infinito, com a densidade linear de carga obtida no item (a).
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro
.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um cilindro carregado uniformemente com densidade volumétrica de carga
. A matéria aqui envolve eletrostática, especificamente o uso da Lei de Gauss para encontrar densidades de carga e campos elétricos. Vamos precisar entender conceitos como densidade linear de carga, campos elétricos dentro e fora de distribuições simétricas de carga, e aplicar a Lei de Gauss de forma adequada.
Passo 2
Item (a): Determinar a densidade linear de carga do cilindro
Primeiro, a densidade linear de carga, denotada por
, é a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo do cilindro. Como a densidade volumétrica de carga é
, e o cilindro tem um raio
, podemos relacionar
com
considerando a área da seção transversal do cilindro.
A carga total em um comprimento
do cilindro é
. Então, a densidade linear de carga é:
Passo 3
Item (b): Determinar o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
Para encontrar o campo elétrico fora do cilindro, usamos a Lei de Gauss. Como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o cilindro carregado, de raio
e comprimento
.
A Lei de Gauss diz que:
Aqui,
é a carga dentro da superfície gaussiana. Para
, a carga dentro é
.
A área lateral do cilindro gaussiano é
, e como o campo elétrico é radial e uniforme na superfície gaussiana:
Simplificando:
Então, o campo elétrico no exterior do cilindro é igual ao campo de um fio retilíneo fino com densidade linear de carga
.
Passo 4
Item ©: Determinar o vetor campo elétrico no interior do cilindro
Agora, para o interior do cilindro, usamos novamente a Lei de Gauss. A superfície gaussiana agora tem raio
. A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dentro de
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Portanto, o campo elétrico no interior do cilindro aumenta linearmente com a distância
do eixo.
Resposta
(a) A densidade linear de carga do cilindro é
.
(b) O vetor campo elétrico no exterior do cilindro é
, que coincide com o campo de um fio retilíneo fino infinito com a mesma densidade linear de carga.
© O vetor campo elétrico no interior do cilindro é
.