Um cilindro circular reto, maciço, infinito e de raio
encontra-se uniformemente carregado com uma densidade volumétrica de carga
.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
. Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino, infinito, com a densidade linear de carga obtida no item (a).
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro
.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um cilindro carregado uniformemente com densidade volumétrica de carga
. A matéria aqui envolve eletrostática, especificamente o uso da Lei de Gauss para encontrar densidades de carga e campos elétricos. Vamos precisar entender conceitos como densidade linear de carga, campos elétricos dentro e fora de distribuições simétricas de carga, e aplicar a Lei de Gauss de forma adequada.
Passo 2
Item (a): Determinar a densidade linear de carga do cilindro
Primeiro, a densidade linear de carga, denotada por
, é a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo do cilindro. Como a densidade volumétrica de carga é
, e o cilindro tem um raio
, podemos relacionar
com
considerando a área da seção transversal do cilindro.
A carga total em um comprimento
do cilindro é
. Então, a densidade linear de carga é:
Passo 3
Item (b): Determinar o vetor campo elétrico no exterior do cilindro
Para encontrar o campo elétrico fora do cilindro, usamos a Lei de Gauss. Como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o cilindro carregado, de raio
e comprimento
.
A Lei de Gauss diz que:
Aqui,
é a carga dentro da superfície gaussiana. Para
, a carga dentro é
.
A área lateral do cilindro gaussiano é
, e como o campo elétrico é radial e uniforme na superfície gaussiana:
Simplificando:
Então, o campo elétrico no exterior do cilindro é igual ao campo de um fio retilíneo fino com densidade linear de carga
.
Passo 4
Item ©: Determinar o vetor campo elétrico no interior do cilindro
Agora, para o interior do cilindro, usamos novamente a Lei de Gauss. A superfície gaussiana agora tem raio
. A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dentro de
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Portanto, o campo elétrico no interior do cilindro aumenta linearmente com a distância
do eixo.
Resposta
(a) A densidade linear de carga do cilindro é
.
(b) O vetor campo elétrico no exterior do cilindro é
, que coincide com o campo de um fio retilíneo fino infinito com a mesma densidade linear de carga.
© O vetor campo elétrico no interior do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Um cabo coaxial simples consiste em um cilindro condutor infinito, maciço, de raio
, carregado com uma densidade linear de carga
e uma casca cilíndrica condutora, também infinita e coaxial ao cilindro, de raio
, uniformemente carregada com uma densidade linear de carga
. Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo cabo nas regiões
e
, onde
é a distância medida a partir do eixo comum.
Considere um cubo sólido, isolante e uniformemente carregado. Um aluno deseja calcular o campo elétrico produzido pelo cubo em um ponto fora do mesmo e resolve utilizar a lei de Gauss. Para isso, ele traça uma superfície gaussiana cúbica, com centro coincidente com o centro do cubo carregado e faces paralelas ao mesmo. Sobre esse procedimento, responda, justificando todas as respostas:
(a) A lei de Gauss é válida nesse problema?
(b) O campo elétrico produzido pelo cubo de carga tem intensidade constante sobre todos os pontos da superfície gaussiana escolhida?
© A escolha de uma superfíicie gaussiana com a mesma simetria do objeto permite o cálculo do campo elétrico nesse problema?
(a) A lei de Gauss é válida nesse problema?
(b) O campo elétrico produzido pelo cubo de carga tem intensidade constante sobre todos os pontos da superfície gaussiana escolhida?
© A escolha de uma superfíicie gaussiana com a mesma simetria do objeto permite o cálculo do campo elétrico nesse problema?
Uma partícula de carga
é posicionada no centro de uma casca cubíca de aresta
. Nessa situação, calcule:
(a) O fluxo de campo elétrico produzido por sobre a superfície do cubo.
(b) O fluxo de campo elétrico produzido por sobre uma das faces do cubo.
© Suponha agora que a carga seja posicionada em um dos vértices do cubo. Qual é o fluxo de campo elétrico produzido por
sobre cada face do cubo?
(a) O fluxo de campo elétrico produzido por
(b) O fluxo de campo elétrico produzido por
© Suponha agora que a carga
Considere as seguintes distribuições de carga:
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
(a) Para quais dessas distribuições podemos utilizar a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico produzido em todo o espaço? Justifique.
(b) A lei de Gauss não vale para alguma dessas distribuições? Justifique.
(i) Fio retilíneo fino, infinito, uniformemente carregado
(ii) Anél circular fino, uniformemente carregado
(iii) Disco circular isolante, uniformemente carregado
(iv) Esfera sólida, isolante, uniformemente carregada
(v) Casca cilíndrica com seção reta circular, infinita, uniformemente carregada
(a) Para quais dessas distribuições podemos utilizar a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico produzido em todo o espaço? Justifique.
(b) A lei de Gauss não vale para alguma dessas distribuições? Justifique.