Um cilindro circular reto, maciço, infinito e de raio R encontra-se uniformemente carregado com uma densidade volumétrica de carga rho.
(a) Determine a densidade linear de carga do cilindro, isto é, a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo.
(b) Determine o vetor campo elétrico no exterior do cilindro (s >= R). Mostre que seu resultado nessa região coincide com o de um fio retilíneo fino, infinito, com a densidade linear de carga obtida no item (a).
© Determine o vetor campo elétrico no interior do cilindro (s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um cilindro carregado uniformemente com densidade volumétrica de carga rho. A matéria aqui envolve eletrostática, especificamente o uso da Lei de Gauss para encontrar densidades de carga e campos elétricos. Vamos precisar entender conceitos como densidade linear de carga, campos elétricos dentro e fora de distribuições simétricas de carga, e aplicar a Lei de Gauss de forma adequada.

Passo 2

Item (a): Determinar a densidade linear de carga do cilindro
Primeiro, a densidade linear de carga, denotada por lambda, é a quantidade de carga por unidade de comprimento ao longo do eixo do cilindro. Como a densidade volumétrica de carga é rho, e o cilindro tem um raio R, podemos relacionar lambda com rho considerando a área da seção transversal do cilindro.
A carga total em um comprimento L do cilindro é Q = rho cdot Volume = rho cdot pi R^2 L. Então, a densidade linear de carga é:
lambda = QL = rho cdot pi R^2 LL = rho pi R^2

Passo 3

Item (b): Determinar o vetor campo elétrico no exterior do cilindro (s >= R)
Para encontrar o campo elétrico fora do cilindro, usamos a Lei de Gauss. Como o cilindro é infinito e tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o cilindro carregado, de raio s e comprimento L.
A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, Qenc é a carga dentro da superfície gaussiana. Para s >= R, a carga dentro é Qenc = lambda L.
A área lateral do cilindro gaussiano é 2pi s L, e como o campo elétrico é radial e uniforme na superfície gaussiana:
E cdot 2pi s L = lambda Lvarepsilon0
Simplificando:
E = lambda2pi varepsilon0 s
Então, o campo elétrico no exterior do cilindro é igual ao campo de um fio retilíneo fino com densidade linear de carga lambda.

Passo 4

Item ©: Determinar o vetor campo elétrico no interior do cilindro (s < R)
Agora, para o interior do cilindro, usamos novamente a Lei de Gauss. A superfície gaussiana agora tem raio s < R. A carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume dentro de s:
Qenc = rho cdot pi s^2 L
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 2pi s L = rho pi s^2 Lvarepsilon0
Simplificando:
E = rho s2 varepsilon0
Portanto, o campo elétrico no interior do cilindro aumenta linearmente com a distância s do eixo.

Resposta

(a) A densidade linear de carga do cilindro é lambda = rho pi R^2.
(b) O vetor campo elétrico no exterior do cilindro é E = dfraclambda2pi varepsilon0 s s, que coincide com o campo de um fio retilíneo fino infinito com a mesma densidade linear de carga.
© O vetor campo elétrico no interior do cilindro é E = dfracrho s2 varepsilon0 s.

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