cabo de uma concha utilizada para derramar chumbo derretido tem 30 cm de comprimento. Originalmente, o cabo era feito a partir de uma barra de aço de baixo carbono com
. Para reduzir a temperatura no cabo, está sendo proposta sua construção com um tubo de
de espessura para a mesma forma retangular. Se o coeficiente médio de transferência de calor sobre a superfície de cabo for
, calcule a redução da temperatura no cabo exposto ao ar a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de uma concha que derrama chumbo derretido, com 30 cm de comprimento. Inicialmente, ele é feito de uma barra de aço com dimensões de 1,9 cm por 1,25 cm. Querem mudar para um tubo com espessura de 0,15 cm para reduzir a temperatura no cabo. O coeficiente de transferência de calor na superfície do cabo é de 14 W/m²K, e a temperatura do ar é de 21°C. Nosso objetivo aqui é calcular quanto essa mudança ajuda a reduzir a temperatura do cabo exposto ao ar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transferência de calor, como condução e convecção, além de calcular áreas de superfície e volumes para determinar a quantidade de calor transferido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área de superfície do cabo original e do cabo com tubo, pois a transferência de calor depende dessa área.
Para o cabo original (barra retangular), a área de superfície
é dada por:
Onde:
- Largura = 1,9 cm
- Altura = 1,25 cm
- Comprimento = 30 cm
Vamos converter todas as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
- Largura = 0,019 m
- Altura = 0,0125 m
- Comprimento = 0,30 m
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de superfície do cabo proposto com tubo de 0,15 cm de espessura. Suponho que a estrutura retangular seja mantida, mas agora com paredes de espessura. Então, as dimensões internas serão reduzidas pela espessura do tubo.
Dimensões internas:
- Largura interna = 1,9 cm - 2 \times 0,15 cm = 1,6 cm = 0,016 m
- Altura interna = 1,25 cm - 2 \times 0,15 cm = 0,95 cm = 0,0095 m
- Comprimento permanece o mesmo = 0,30 m
Agora, a área de superfície total
inclui as áreas internas e externas:
Onde:
- Largura externa = 0,019 m
- Altura externa = 0,0125 m
Calculando:
Perceba que a área de superfície permanece a mesma, mas a presença do tubo adiciona uma camada adicional que pode influenciar na transferência de calor.
Passo 4
Agora, vamos utilizar a equação da transferência de calor por convecção:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor (W) -
é o coeficiente de transferência de calor (14 W/m²K) -
é a área de superfície (0,019375 m²) -
é a diferença de temperatura entre a superfície do cabo e o ar
Queremos encontrar a redução de temperatura
, então vamos reorganizar a equação:
Para encontrar
, precisamos relacionar a quantidade de calor transferido
com a mudança no material do cabo.
Passo 5
Considerando que a troca de material altera a capacidade térmica do cabo, vamos calcular a diferença na massa e, consequentemente, na capacidade de absorção de calor.
Vamos calcular o volume do cabo original e do cabo com tubo:
Volume do cabo original
:
Volume do tubo
:
Assumindo que o aço tem a mesma densidade, a massa do cabo com tubo será menor, o que significa que menos calor será conduzido ao cabo, resultando em menor aumento de temperatura.
Passo 6
Agora, vamos calcular a redução na transferência de calor devido à mudança no volume:
Razão das áreas:
Isso significa que aproximadamente 36% da transferência de calor ocorre com o cabo modificado, comparado ao original.
Passo 7
Utilizando a relação de
, sabemos que o aumento de temperatura é proporcional à transferência de calor. Portanto, a redução na transferência de calor implica em uma redução na temperatura.
Se originalmente a diferença de temperatura seria
, agora com o tubo, será:
Isso indica que a temperatura do cabo será reduzida em 64% devido à mudança para o cabo com tubo.
Resposta
A mudança na construção do cabo para um tubo com espessura de 0,15 cm resulta em uma redução de 64 °C na temperatura do cabo exposto ao ar a 21 °C.