O cabo de uma concha utilizada para derramar chumbo derretido tem 30 cm de comprimento. Originalmente, o cabo era feito a partir de uma barra de aço de baixo carbono com 1,9 cm times 1,25 cm. Para reduzir a temperatura no cabo, está sendo proposta sua construção com um tubo de 0,15 cm de espessura para a mesma forma retangular. Se o coeficiente médio de transferência de calor sobre a superfície de cabo for 14 W / m^2 K, calcule a redução da temperatura no cabo exposto ao ar a 21^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de uma concha que derrama chumbo derretido, com 30 cm de comprimento. Inicialmente, ele é feito de uma barra de aço com dimensões de 1,9 cm por 1,25 cm. Querem mudar para um tubo com espessura de 0,15 cm para reduzir a temperatura no cabo. O coeficiente de transferência de calor na superfície do cabo é de 14 W/m²K, e a temperatura do ar é de 21°C. Nosso objetivo aqui é calcular quanto essa mudança ajuda a reduzir a temperatura do cabo exposto ao ar.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transferência de calor, como condução e convecção, além de calcular áreas de superfície e volumes para determinar a quantidade de calor transferido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área de superfície do cabo original e do cabo com tubo, pois a transferência de calor depende dessa área.
Para o cabo original (barra retangular), a área de superfície Aoriginal = 2 times (largura times a é dada por:
Aoriginal = 2 times (0,019 times 0,0125) + 2 times (0,019 times 0,30) + 2 times (0,0125 times 0,30)
Onde:
  • Largura = 1,9 cm
  • Altura = 1,25 cm
  • Comprimento = 30 cm
Vamos converter todas as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
  • Largura = 0,019 m
  • Altura = 0,0125 m
  • Comprimento = 0,30 m
Calculando:
Aoriginal = 2 times 0,0002375 + 2 times 0,0057 + 2 times 0,00375
Aoriginal = 0,000475 + 0,0114 + 0,0075 = 0,019375 , m^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de superfície do cabo proposto com tubo de 0,15 cm de espessura. Suponho que a estrutura retangular seja mantida, mas agora com paredes de espessura. Então, as dimensões internas serão reduzidas pela espessura do tubo.
Dimensões internas:
  • Largura interna = 1,9 cm - 2 \times 0,15 cm = 1,6 cm = 0,016 m
  • Altura interna = 1,25 cm - 2 \times 0,15 cm = 0,95 cm = 0,0095 m
  • Comprimento permanece o mesmo = 0,30 m
Agora, a área de superfície total Atubo = 2 times (larguraexterna times a inclui as áreas internas e externas:
Atubo = 2 times (0,019 times 0,0125) + 2 times (0,019 times 0,30) + 2 times (0,0125 times 0,30)
Onde:
  • Largura externa = 0,019 m
  • Altura externa = 0,0125 m
Calculando:
Atubo = 2 times 0,0002375 + 2 times 0,0057 + 2 times 0,00375
Atubo = 0,000475 + 0,0114 + 0,0075 = 0,019375 , m^2
Perceba que a área de superfície permanece a mesma, mas a presença do tubo adiciona uma camada adicional que pode influenciar na transferência de calor.

Passo 4

Agora, vamos utilizar a equação da transferência de calor por convecção:
Q = h times A times De
Onde:
  • De é a taxa de transferência de calor (W)
  • é o coeficiente de transferência de calor (14 W/m²K)
  • é a área de superfície (0,019375 m²)
  • é a diferença de temperatura entre a superfície do cabo e o ar
Queremos encontrar a redução de temperatura , então vamos reorganizar a equação:
Para encontrar , precisamos relacionar a quantidade de calor transferido com a mudança no material do cabo.

Passo 5

Considerando que a troca de material altera a capacidade térmica do cabo, vamos calcular a diferença na massa e, consequentemente, na capacidade de absorção de calor.
Vamos calcular o volume do cabo original e do cabo com tubo:
Volume do cabo original Voriginal = largura times a:
Vtubo = Vexterno - Vinterno = (0,019 times 0,0125 times 0,30) - (0,016 times 0,0095 times 0,30) = 0,00007125 - 0,0000456 = 0,00002565 , m^3
Volume do tubo :
Assumindo que o aço tem a mesma densidade, a massa do cabo com tubo será menor, o que significa que menos calor será conduzido ao cabo, resultando em menor aumento de temperatura.

Passo 6

Agora, vamos calcular a redução na transferência de calor devido à mudança no volume:
Razão das áreas:
VtuboVoriginal = 0,000025650,00007125 approx 0,36
Isso significa que aproximadamente 36% da transferência de calor ocorre com o cabo modificado, comparado ao original.

Passo 7

Utilizando a relação de De, sabemos que o aumento de temperatura é proporcional à transferência de calor. Portanto, a redução na transferência de calor implica em uma redução na temperatura.
Se originalmente a diferença de temperatura seria , agora com o tubo, será:
Isso indica que a temperatura do cabo será reduzida em 64% devido à mudança para o cabo com tubo.

Resposta

A mudança na construção do cabo para um tubo com espessura de 0,15 cm resulta em uma redução de 64 °C na temperatura do cabo exposto ao ar a 21 °C.

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