Um cabo elétrico sujeito a um efeito joule q tem sua distribuição de temperaturas regida por
finita qdo
Obtenha
Obtenha
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como a temperatura se distribui em um cabo elétrico que está sofrendo o efeito Joule. A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais, para achar a função que descreve essa temperatura ao longo do cabo. Precisamos entender a equação dada e usar as condições de contorno para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura:
Aqui,
é a temperatura em função da posição
,
é uma constante relacionada às propriedades do material,
é a taxa de geração de calor devido ao efeito Joule, e
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente pode encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular para a equação completa.
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Passo 4
A solução geral da equação homogênea é da forma:
Onde
e
são constantes que a gente vai determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo constante
está presente, uma solução particular
será uma constante. Vamos supor que
.
Passo 6
Substituindo
na equação:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes
e
. A primeira condição é
.
Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 9
A segunda condição é que
deve ser finita quando
. Observando a solução geral:
Para que
não cresça infinitamente quando
, o termo
deve ser zero. Portanto,
.
Passo 10
Com
, a equação da condição inicial fica:
Passo 11
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A distribuição de temperatura no cabo elétrico é dada por
Exercícios relacionados
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
Calcule a derivada das funções:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
B)
B)
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as: