Um cabo elétrico sujeito a um efeito joule q tem sua distribuição de temperaturas regida por
theta(0) = theta_B
theta'' - m^2 theta + q/k = 0
theta finita qdo x -> infinito
Obtenha theta(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre como a temperatura se distribui em um cabo elétrico que está sofrendo o efeito Joule. A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais, para achar a função que descreve essa temperatura ao longo do cabo. Precisamos entender a equação dada e usar as condições de contorno para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial que descreve a distribuição de temperatura:
Aqui, theta(x) é a temperatura em função da posição x, m é uma constante relacionada às propriedades do material, q é a taxa de geração de calor devido ao efeito Joule, e k é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente pode encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular para a equação completa.
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:

Passo 4

A solução geral da equação homogênea é da forma:
Onde A e B são constantes que a gente vai determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo constante está presente, uma solução particular será uma constante. Vamos supor que .

Passo 6

Substituindo na equação:
Resolvendo para C:
Então, a solução particular é:

Passo 7

Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 8

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes A e B. A primeira condição é .
Substituindo x = 0 na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 9

A segunda condição é que theta(x) deve ser finita quando x -> infinito. Observando a solução geral:
Para que theta(x) não cresça infinitamente quando x -> infinito, o termo deve ser zero. Portanto, .

Passo 10

Com , a equação da condição inicial fica:

Passo 11

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A distribuição de temperatura no cabo elétrico é dada por

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