Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa mostrar que é separável e resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais separáveis, que são aquelas em que a gente consegue separar as variáveis e para facilitar a resolução. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar os dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a equação dada:
Para mostrar que é separável, a gente quer rearranjar os termos para que todos os fiquem de um lado e os do outro.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados por para trazer o para o lado esquerdo:
Agora, temos as variáveis separadas: em um lado e no outro. Isso confirma que a equação é separável.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A gente integra:
Vamos fazer essas integrais uma por uma.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Juntando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo:
Então, a equação fica:

Resposta

Resolvendo para , temos:
Mas como , escolhemos o sinal negativo. Então, a solução é:

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Decida se cada função possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
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Resolva a seguinte equação Integral