Mostre que as seguintes equações diferenciais são separáveis e resolva-as.
B)
B)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa mostrar que é separável e resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais separáveis, que são aquelas em que a gente consegue separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar os dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a equação dada:
Para mostrar que é separável, a gente quer rearranjar os termos para que todos os
fiquem de um lado e os
do outro.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados por
para trazer o
para o lado esquerdo:
Agora, temos as variáveis separadas:
em um lado e
no outro. Isso confirma que a equação é separável.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A gente integra:
Vamos fazer essas integrais uma por uma.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Juntando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo:
Então, a equação fica:
Resposta
Resolvendo para
, temos:
Mas como
, escolhemos o sinal negativo. Então, a solução é:
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Obtenha
Decida se cada função
possui alguma raiz e em caso afirmativo, calcule-as:
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Resolva a seguinte equação Integral