Calcule a derivada das funções:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício de derivadas juntos. Aqui, temos cinco funções diferentes e precisamos encontrar suas derivadas. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra do produto, a regra da cadeia, e conhecer um pouco sobre derivadas de funções básicas, como logaritmo, seno, valor absoluto, arco cosseno e exponencial.
Passo 2
(a)
Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que nos diz que se temos uma função do tipo
, sua derivada é
.
Aqui,
e
.
- Derivando
: - Derivando
: - Aplicando a regra do produto:
Passo 3
(b)
Também usamos a regra do produto aqui. Seja
e
.
- Derivando
: - Derivando
: - Aplicando a regra do produto:
Passo 4
©
Essa função envolve o valor absoluto, então precisamos considerar os diferentes casos para simplificar a derivação.
- Para
: Derivando: - Para
: Derivando:
Então, a derivada completa é:
Passo 5
(d)
Aqui usamos a derivada da função arco cosseno. A derivada de
é conhecida e é dada por:
Passo 6
(e)
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia, que é aplicada quando temos uma função composta.
Se temos
, então:
Aqui,
, então:
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
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