Um cabo flexivel suspenso por dois postes de mesma altura tem formato parabólico, com as seguintes medidas: 10 m de altura no centro e 40 m de altura a
da distância do centro a um dos postes. Determine a altura do poste.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo flexível suspenso por dois postes de mesma altura, formando uma parábola. Sabemos que:
- No centro (ponto mais baixo da parábola), o cabo está a 10 metros de altura.
- A uma distância de 3/4 do centro até um dos postes, o cabo está a 40 metros de altura.
Queremos descobrir qual é a altura dos postes.
Matéria envolvida: Geometria Analítica, especificamente o estudo de parábolas.
O que vamos precisar: Conhecer a equação da parábola e como utilizar pontos conhecidos para determinar seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma parábola. De forma geral, a equação pode ser escrita como:
Como a parábola é simétrica em relação ao eixo vertical que passa pelo centro, o termo
desaparece, pois não há inclinação lateral. Então, a equação simplifica para:
Aqui:
-
determina a largura e a direção da parábola. -
é a altura no vértice da parábola.
Passo 3
Vamos definir um sistema de coordenadas onde o centro da parábola está na origem, ou seja, em
. Assim:
-
No centro (
), a altura é de 10 metros, então: Assim, já sabemos que.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda informação: a uma distância de 3/4 do centro até um dos postes (
), a altura do cabo é de 40 metros. Substituindo na equação:
Primeiro, calculamos
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver para encontrar o valor de
:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a equação completa da parábola:
Queremos descobrir a altura dos postes, que correspondem aos pontos onde a parábola termina, ou seja, quando
é igual à distância total do centro até o poste, que vamos chamar de
para simplificar (já que usamos frações como
anteriormente).
Substituindo
na equação:
Para somar, colocamos
como
:
Resposta
A altura dos postes é de 63 e 1/3 metros.