Um cabo flexivel suspenso por dois postes de mesma altura tem formato parabólico, com as seguintes medidas: 10 m de altura no centro e 40 m de altura a 34 da distância do centro a um dos postes. Determine a altura do poste.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo flexível suspenso por dois postes de mesma altura, formando uma parábola. Sabemos que:
  • No centro (ponto mais baixo da parábola), o cabo está a 10 metros de altura.
  • A uma distância de 3/4 do centro até um dos postes, o cabo está a 40 metros de altura.
Queremos descobrir qual é a altura dos postes.
Matéria envolvida: Geometria Analítica, especificamente o estudo de parábolas.
O que vamos precisar: Conhecer a equação da parábola e como utilizar pontos conhecidos para determinar seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma parábola. De forma geral, a equação pode ser escrita como:
y = ax^2 + bx + c
Como a parábola é simétrica em relação ao eixo vertical que passa pelo centro, o termo y = ax^2 + c desaparece, pois não há inclinação lateral. Então, a equação simplifica para:
Aqui:
  • determina a largura e a direção da parábola.
  • é a altura no vértice da parábola.

Passo 3

Vamos definir um sistema de coordenadas onde o centro da parábola está na origem, ou seja, em y = a(0)^2 + c . Assim:
  • No centro ( 10 = c ), a altura é de 10 metros, então:
    Assim, já sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda informação: a uma distância de 3/4 do centro até um dos postes ( 40 = a(34)^2 + 10 ), a altura do cabo é de 40 metros. Substituindo na equação:
(34)^2 = 916
Primeiro, calculamos 40 = a cdot 916 + 10 :
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver para encontrar o valor de 40 - 10 = a cdot 916 :
30 = a cdot 916
a = 30 cdot 169
Para isolar a = 4809 , multiplicamos ambos os lados por a = 1603 :

Passo 6

Agora que temos os valores de y = 1603x^2 + 10 e y = 1603(1)^2 + 10 , podemos escrever a equação completa da parábola:
y = 1603 + 10
Queremos descobrir a altura dos postes, que correspondem aos pontos onde a parábola termina, ou seja, quando y = 1603 + 303 é igual à distância total do centro até o poste, que vamos chamar de y = 1903 para simplificar (já que usamos frações como y = 6313 metros anteriormente).
Substituindo na equação:
Para somar, colocamos como :

Resposta

A altura dos postes é de 63 e 1/3 metros.

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