Para cada equação dada, determine o ângulo de rotação que elimina o termo misto, reescreva a equação equivalente desprovida do termo misto e esboce a curva.
2 x^2+y^2+raiz3 x y=4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo de rotação que elimina o termo misto na equação quadrática dada, reescrever a equação sem esse termo e esboçar a curva resultante. A equação fornecida é:
2x^2 + y^2 + raiz3,xy = 4
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre rotação de eixos para eliminar termos mistos em equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação geral da segunda ordem:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Na nossa equação:

Passo 3

Para eliminar o termo misto tan(2theta) = BA - C, usamos a fórmula para encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = raiz32 - 1 = raiz3:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, encontramos 2theta = arctan(raiz3) utilizando a função arco-tangente:
arctan(raiz3) = 60^circ
Sabemos que:
2theta = 60^circ implies theta = 30^circ
Portanto:

Passo 5

Com o ângulo de rotação A'x'^2 + C'y'^2 = 4, podemos reescrever a equação original sem o termo misto. A nova equação após a rotação será da forma:
x = x'costheta - y'sintheta
Aplicando as fórmulas de rotação de eixos:
y = x'sintheta + y'costheta
Substituindo e simplificando, obtemos a nova equação sem o termo .

Passo 6

Após simplificar, a equação transformada fica:
x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1
Onde e são os semi-eixos da elipse resultante.

Passo 7

Finalmente, esboçamos a curva resultante, que é uma elipse alinhada com os novos eixos e , sem termo misto.

Resposta

O ângulo de rotação necessário para eliminar o termo misto é . A equação equivalente sem o termo misto é uma elipse alinhada com os eixos rotacionados em .

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