Para cada equação dada, determine o ângulo de rotação que elimina o termo misto, reescreva a equação equivalente desprovida do termo misto e esboce a curva.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo de rotação que elimina o termo misto na equação quadrática dada, reescrever a equação sem esse termo e esboçar a curva resultante. A equação fornecida é:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre rotação de eixos para eliminar termos mistos em equações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação geral da segunda ordem:
Na nossa equação:
Passo 3
Para eliminar o termo misto
, usamos a fórmula para encontrar o ângulo de rotação
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, encontramos
utilizando a função arco-tangente:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Com o ângulo de rotação
, podemos reescrever a equação original sem o termo misto. A nova equação após a rotação será da forma:
Aplicando as fórmulas de rotação de eixos:
Substituindo
e simplificando, obtemos a nova equação sem o termo
.
Passo 6
Após simplificar, a equação transformada fica:
Onde
e
são os semi-eixos da elipse resultante.
Passo 7
Finalmente, esboçamos a curva resultante, que é uma elipse alinhada com os novos eixos
e
, sem termo misto.
Resposta
O ângulo de rotação necessário para eliminar o termo misto é
. A equação equivalente sem o termo misto é uma elipse alinhada com os eixos rotacionados em
.