Determine vértice, foco, diretriz e faça esboço da parábola:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma parábola juntos! O enunciado pede para encontrar o vértice, o foco, a diretriz e fazer um esboço da parábola dada pela equação:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas. Precisaremos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e, assim, identificar suas características principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da parábola. Começamos isolando os termos de
:
Agora, vamos completar o quadrado no lado esquerdo para transformar a expressão em uma forma que nos ajude a identificar o vértice. Completar o quadrado é uma técnica usada para reescrever expressões quadráticas de forma mais fácil de trabalhar.
Para completar o quadrado em
, seguimos estes passos:
-
Tome o coeficiente de
, que é -4, divida por 2 e eleve ao quadrado: -
Adicione e subtraia esse valor dentro da equação:
-
Reescreva a equação agrupando os termos completos:
-
Agora, isole
:
Essa é a forma padrão da parábola vertical, que nos mostra que a parábola abre para cima ou para baixo.
Passo 3
Agora que temos a equação na forma padrão:
Podemos identificar o vértice da parábola, que é o ponto
. Aqui,
e
, então o vértice é
.
Para encontrar o foco e a diretriz, precisamos identificar o valor de
na equação padrão
. Comparando:
Como
é positivo, a parábola abre para cima.
-
Foco: Está a uma distância
acima do vértice. Então, adicionamos 1 à coordenada do vértice: -
Diretriz: É uma linha horizontal a uma distância
abaixo do vértice. Então, subtraímos 1 da coordenada do vértice:
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
A parábola abre para cima, com seu vértice no ponto (2, -3), foco no ponto (2, -2) e a diretriz sendo a linha horizontal
.