Determine vértice, foco, diretriz e faça esboço da parábola:
x^2-4 x-4 y-8=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma parábola juntos! O enunciado pede para encontrar o vértice, o foco, a diretriz e fazer um esboço da parábola dada pela equação:
x^2 - 4x - 4y - 8 = 0
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas. Precisaremos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola e, assim, identificar suas características principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da parábola. Começamos isolando os termos de x^2 - 4x = 4y + 8 :
( -42 )^2 = 4
Agora, vamos completar o quadrado no lado esquerdo para transformar a expressão em uma forma que nos ajude a identificar o vértice. Completar o quadrado é uma técnica usada para reescrever expressões quadráticas de forma mais fácil de trabalhar.
Para completar o quadrado em x^2 - 4x + 4 - 4 = 4y + 8 , seguimos estes passos:
  1. Tome o coeficiente de (x - 2)^2 - 4 = 4y + 8 , que é -4, divida por 2 e eleve ao quadrado:
    (x - 2)^2 = 4(y + 3)
  2. Adicione e subtraia esse valor dentro da equação:
  3. Reescreva a equação agrupando os termos completos:
  4. Agora, isole :
Essa é a forma padrão da parábola vertical, que nos mostra que a parábola abre para cima ou para baixo.

Passo 3

Agora que temos a equação na forma padrão:
(x - 2)^2 = 4(y + 3)
Podemos identificar o vértice da parábola, que é o ponto 4p = 4 Rightarrow p = 1 . Aqui, Foco = (2, -3 + 1) = (2, -2) e Diretriz: y = -3 - 1 = -4 , então o vértice é .
Para encontrar o foco e a diretriz, precisamos identificar o valor de na equação padrão . Comparando:
Como é positivo, a parábola abre para cima.
  • Foco: Está a uma distância acima do vértice. Então, adicionamos 1 à coordenada do vértice:
  • Diretriz: É uma linha horizontal a uma distância abaixo do vértice. Então, subtraímos 1 da coordenada do vértice:

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
A parábola abre para cima, com seu vértice no ponto (2, -3), foco no ponto (2, -2) e a diretriz sendo a linha horizontal .

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