Use uma translação dos eixos coordenados para eliminar os termos de primeiro grau. 3 x^2-2 y^2-42 x-4 y+133=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve uma equação quadrática com termos de primeiro grau. O objetivo aqui é usar uma translação dos eixos coordenados para eliminar os termos que têm apenas e , ou seja, os termos de primeiro grau. Para isso, vamos precisar lembrar como fazer a mudança de coordenadas e completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada agrupando os termos de 3x^2 - 42x - 2y^2 - 4y + 133 = 0 e os de separadamente:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 3(x^2 - 14x) - 2y^2 - 4y + 133 = 0. Fatoramos o coeficiente de (x^2 - 14x) = (x - 7)^2 - 49:
3((x - 7)^2 - 49) - 2y^2 - 4y + 133 = 0
Para completar o quadrado dentro do parêntese:
Substituindo de volta:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
3(x - 7)^2 - 147 - 2y^2 - 4y + 133 = 0
3(x - 7)^2 - 2y^2 - 4y -14 = 0

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de -2(y^2 + 2y) = -2((y + 1)^2 - 1). Fatoramos o coeficiente de 3(x - 7)^2 -2((y + 1)^2 -1) -14 = 0:
Substituindo:

Passo 6

Simplificando novamente:
3(x - 7)^2 -2(y + 1)^2 +2 -14 = 0
3(x - 7)^2 -2(y + 1)^2 -12 = 0
3(x - 7)^2 -2(y + 1)^2 = 12

Passo 7

Dividindo toda a equação por 12 para simplificar:
(x - 7)^24 - (y + 1)^26 = 1

Resposta

A equação transformada após a translação dos eixos é:
(x - 7)^24 - (y + 1)^26 = 1

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