Determine a distância focal, a excentricidade e as coordenadas do centro da elipse definida pela equação 4 x^2+25 y^2-16 x+200 y+316=0.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação de uma elipse: . Nosso objetivo é encontrar três coisas: a distância focal, a excentricidade e as coordenadas do centro dessa elipse. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente completando o quadrado para colocar a equação da elipse na forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 4x^2 -16x +25y^2 +200y = -316 e os de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 -4x) +25y^2 +200y = -316. Primeiro, fatoramos o coeficiente de 4[(x^2 -4x +4) -4] +25y^2 +200y = -316:
4(x -2)^2 -16 +25y^2 +200y = -316
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(x -2)^2 -16 +25(y^2 +8y) = -316. Fatoramos o coeficiente de 4(x -2)^2 -16 +25[(y^2 +8y +16) -16] = -316:
4(x -2)^2 -16 +25(y +4)^2 -400 = -316
Completando o quadrado para :
Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Vamos juntar os termos constantes:
4(x -2)^2 +25(y +4)^2 -416 = -316
Adicionando 416 aos dois lados:
4(x -2)^2 +25(y +4)^2 = 100

Passo 6

Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos tudo por 100:
Ou melhor:
(x -2)^225 + (y +4)^24 =1

Passo 7

Na forma padrão , identificamos:
  • Centro:
  • então
  • então

Passo 8

Para encontrar a excentricidade e = raiz1 - b^2a^2, usamos a fórmula:
e = raiz1 - 425 = raiz2125 = raiz215
Substituindo os valores:

Passo 9

A distância focal c = a cdot e = 5 cdot raiz215 = raiz21 é dada por:

Resposta

  • Centro da elipse:
  • Excentricidade:
  • Distância focal:

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