Determine a distância focal, a excentricidade e as coordenadas do centro da elipse definida pela equação
.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação de uma elipse:
. Nosso objetivo é encontrar três coisas: a distância focal, a excentricidade e as coordenadas do centro dessa elipse. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente completando o quadrado para colocar a equação da elipse na forma padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os de
juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado para
:
Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 5
Vamos juntar os termos constantes:
Adicionando 416 aos dois lados:
Passo 6
Para deixar a equação na forma padrão da elipse, dividimos tudo por 100:
Ou melhor:
Passo 7
Na forma padrão
, identificamos:
- Centro:
-
então -
então
Passo 8
Para encontrar a excentricidade
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 9
A distância focal
é dada por:
Resposta
- Centro da elipse:
- Excentricidade:
- Distância focal: