Um cabo telefônico suspenso entre dois postes tem um peso de quadrado quilogramas-força por metro linear. Considerando que a tensão ( T ) na metade do cabo é obtida a partir resolução da seguinte equação:
2 * T / alpha * senh(alpha * L / 2 * T) = S
na qual: S é o comprimento do cabo e
L é a distância entre os postes,
utilizar o método da bissecção para determinar a tensão T a partir das seguintes condições: S = 32 m, L = 30 m, alpha = 0.10 kgf. Considerar o intervalo inicial [2, 3] e a tolerância superior ou igual a 1%.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido no exercício. Temos um cabo telefônico entre dois postes que pesa quadrado quilogramas-força por metro linear. Precisamos determinar a tensão T na metade do cabo utilizando o método da bissecção. Para isso, vamos usar a seguinte equação:
Onde:
  • S é o comprimento do cabo (32 m),
  • L é a distância entre os postes (30 m),
  • Kgf.
Vamos aplicar o método da bissecção no intervalo inicial com uma tolerância de 1%.

Passo 2

O método da bissecção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções. Ele funciona dividindo um intervalo em duas partes e selecionando a subparte onde a função muda de sinal, repetindo o processo até atingir a precisão desejada.
Primeiro, definimos a função que queremos igualar a zero:
Queremos encontrar T tal que .

Passo 3

Vamos calcular os valores iniciais da função nos extremos do intervalo .
Para :
Calculando passo a passo:
Então,
Para :
Calculando passo a passo:
Então,

Passo 4

Como e , sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo . Agora, vamos aplicar o método da bissecção.
A tolerância de 1% no intervalo significa que queremos uma precisão de:
Então, iremos parar quando a largura do intervalo for menor ou igual a .

Passo 5

Iteração 1:
  • ,
  • Calculamos :
Calculando passo a passo:
Então,
Como , a raiz está no intervalo .
Novo intervalo:
Erro atual:

Passo 6

Iteração 2:
  • ,
  • Calculamos :
Calculando passo a passo:
Então,
Como , a raiz está no intervalo .
Novo intervalo:
Erro atual:

Passo 7

Iteração 3:
  • ,
  • Calculamos :
Calculando passo a passo:
Então,
Como , a raiz está no intervalo .
Novo intervalo:
Erro atual:

Passo 8

Iteração 4:
  • ,
  • Calculamos :
Calculando passo a passo:
Então,
Como , a raiz está no intervalo .
Novo intervalo:
Erro atual:

Passo 9

Iteração 5:
  • ,
  • Calculamos :
Calculando passo a passo:
Então,
Como , a raiz está no intervalo .
Novo intervalo:
Erro atual:

Passo 10

O erro atual é aproximadamente 0.03, que atende à nossa tolerância de 1%. Portanto, podemos parar aqui.

Resposta

A tensão T no cabo é aproximadamente Kgf.

Exercícios relacionados