Se os cabos BD e BC podem suportar uma força de tração máxima de 20 kN , determine a massa máxima da viga que pode ser suspensa pelo cabo
, de modo que nenhum cabo se rompa. O centro de massa da viga está localizado no ponto G.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estática onde precisamos descobrir qual é a massa máxima que uma viga pode ter para que os cabos não se rompam. Os cabos BD e BC aguentam até 20 kN cada. Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças para resolver isso. Precisamos entender como as forças se distribuem nos cabos e garantir que nenhuma delas exceda o limite de 20 kN.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na viga. Temos o peso da viga (
) que age para baixo no centro de massa
. Além disso, temos as tensões nos cabos AB (
), BC (
) e BD (
) que puxam a viga para cima e para os lados.
Passo 3
Como a viga está em equilíbrio, a soma de todas as forças verticais e horizontais deve ser zero. Vamos começar pelas forças verticais. A soma das componentes verticais das tensões dos cabos deve igualar o peso da viga:
Aqui,
,
e
são os ângulos que os cabos fazem com a horizontal.
Passo 4
Agora, olhamos para as forças horizontais. Elas também devem se equilibrar:
Isso garante que não há movimento horizontal na viga.
Passo 5
Sabemos que
e
têm um limite máximo de 20 kN cada. Para maximizar a massa
da viga sem estourar os cabos, vamos assumir que
kN.
Passo 6
Substituindo
e
na equação das forças horizontais:
Isso nos ajuda a encontrar
em termos dos ângulos.
Passo 7
Voltando à equação das forças verticais, substituímos
e
:
Aqui,
é a aceleração da gravidade (
).
Passo 8
Isolamos
na equação:
Agora, precisamos calcular
usando a equação das forças horizontais.
Passo 9
Da equação das forças horizontais:
Substituímos isso na equação de
:
Passo 10
Simplificamos a expressão:
Assumindo que os ângulos são tais que essa expressão se mantém válida.
Resposta
A massa máxima da viga que pode ser suspensa pelo cabo
sem romper os cabos
e
é:
Certifique-se de usar os valores dos ângulos
,
e
para calcular o valor numérico final.