Se os cabos BD e BC podem suportar uma força de tração máxima de 20 kN , determine a massa máxima da viga que pode ser suspensa pelo cabo A B, de modo que nenhum cabo se rompa. O centro de massa da viga está localizado no ponto G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estática onde precisamos descobrir qual é a massa máxima que uma viga pode ter para que os cabos não se rompam. Os cabos BD e BC aguentam até 20 kN cada. Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças para resolver isso. Precisamos entender como as forças se distribuem nos cabos e garantir que nenhuma delas exceda o limite de 20 kN.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na viga. Temos o peso da viga ( ) que age para baixo no centro de massa . Além disso, temos as tensões nos cabos AB ( ), BC ( ) e BD ( ) que puxam a viga para cima e para os lados.

Passo 3

Como a viga está em equilíbrio, a soma de todas as forças verticais e horizontais deve ser zero. Vamos começar pelas forças verticais. A soma das componentes verticais das tensões dos cabos deve igualar o peso da viga:
TAB cdot sin(theta) + TBC cdot sin(phi) + TBD cdot sin(psi) = P
Aqui, , e são os ângulos que os cabos fazem com a horizontal.

Passo 4

Agora, olhamos para as forças horizontais. Elas também devem se equilibrar:
TAB cdot cos(theta) = TBC cdot cos(phi) + TBD cdot cos(psi)
Isso garante que não há movimento horizontal na viga.

Passo 5

Sabemos que e têm um limite máximo de 20 kN cada. Para maximizar a massa da viga sem estourar os cabos, vamos assumir que kN.

Passo 6

Substituindo TAB cdot cos(theta) = 20 cdot cos(phi) + 20 cdot cos(psi) e na equação das forças horizontais:
Isso nos ajuda a encontrar em termos dos ângulos.

Passo 7

Voltando à equação das forças verticais, substituímos TAB cdot sin(theta) + 20 cdot sin(phi) + 20 cdot sin(psi) = m cdot g e :
Aqui, é a aceleração da gravidade ( ²).

Passo 8

Isolamos m = TAB cdot sin(theta) + 20 cdot sin(phi) + 20 cdot sin(psi)g na equação:
Agora, precisamos calcular usando a equação das forças horizontais.

Passo 9

Da equação das forças horizontais:
TAB = 20 cdot cos(phi) + 20 cdot cos(psi)cos(theta)
Substituímos isso na equação de m = (20 cdot cos(phi) + 20 cdot cos(psi)cos(theta)) cdot sin(theta) + 20 cdot sin(phi) + 20 cdot sin(psi)g :

Passo 10

Simplificamos a expressão:
m = 20 cdot (cos(phi) + cos(psi)) cdot tan(theta) + 20 cdot (sin(phi) + sin(psi))g
Assumindo que os ângulos são tais que essa expressão se mantém válida.

Resposta

A massa máxima da viga que pode ser suspensa pelo cabo m = 20 cdot (cos(phi) + cos(psi)) cdot tan(theta) + 20 cdot (sin(phi) + sin(psi))9,81 sem romper os cabos e é:
Certifique-se de usar os valores dos ângulos , e para calcular o valor numérico final.

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