As turbinas de Pelton normalmente são usadas nas usinas hidrelétricas para gerar energia elétrica. Nessas turbinas, um jato à alta velocidade de Vj é aplicada sobre as pás, forçando a roda a girar. As pás revertem a direção do jato, e o jato sai da pá fazendo um ângulo com a direção do jato. Mostre que a potência produzida por uma turbina de Pelton com raio r girando de forma estacionária a uma velocidade angular é , onde r é a densidade e é a vazão volumétrica. Obtenha o valor numérico para :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre turbinas de Pelton! A questão fala sobre como calcular a potência que uma turbina desse tipo produz quando um jato de água atinge suas pás. Vamos precisar entender um pouquinho de mecânica dos fluidos e de rotação para chegar na resposta. Basicamente, vamos usar fórmulas que relacionam a velocidade do jato, a rotação da turbina e as características da água para encontrar a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potência. Potência é a quantidade de energia que é transferida ou transformada por unidade de tempo. No caso da turbina de Pelton, a água que bate nas pás transfere energia para a turbina, fazendo-a girar.

Passo 3

A potência ( ) pode ser calculada multiplicando a força que a água exerce sobre as pás pela velocidade com que a turbina está girando. A força que a água exerce é relacionada à quantidade de água que está passando (vazão volumétrica ), à densidade da água ( ), e à mudança de velocidade do jato de água.

Passo 4

A mudança de velocidade do jato de água é , onde é a velocidade inicial do jato e é a velocidade tangencial da ponta da pá devido à rotação da turbina. Esse termo representa a diferença entre a velocidade da água e a velocidade da pá.

Passo 5

Além disso, a potência também depende do ângulo com o qual o jato de água sai das pás. Esse ângulo afeta a força exercida pela água na turbina. A expressão leva isso em conta, pois representa a componente da força que efetivamente contribui para girar a turbina.

Passo 6

Juntando tudo, a potência produzida pela turbina de Pelton pode ser expressa pela fórmula:
Aqui:
  • é a densidade da água,
  • é a velocidade angular da turbina,
  • é o raio da turbina,
  • é a vazão volumétrica,
  • é a velocidade do jato de água,
  • é o ângulo de saída do jato.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor numérico usando os dados fornecidos:
Primeiro, precisamos converter a frequência de rotação de rpm para rad/s:
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da potência:
Calculando passo a passo:
Finalmente:

Resposta

A potência produzida pela turbina de Pelton é aproximadamente Watts.

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