As turbinas de Pelton normalmente são usadas nas usinas hidrelétricas para gerar energia elétrica. Nessas turbinas, um jato à alta velocidade de Vj é aplicada sobre as pás, forçando a roda a girar. As pás revertem a direção do jato, e o jato sai da pá fazendo um ângulo beta com a direção do jato. Mostre que a potência produzida por uma turbina de Pelton com raio r girando de forma estacionária a uma velocidade angular omega é dotW eixo =rho omega r dotforall(Vj-omega r)(1-cos beta), onde r é a densidade e dotforall é a vazão volumétrica. Obtenha o valor numérico para :
rho=1000 kg / m^3, r=2 m, dotforall=10 m^3 / s f=150 rpm, beta=160^circ e Vj=50 m / s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre turbinas de Pelton! A questão fala sobre como calcular a potência que uma turbina desse tipo produz quando um jato de água atinge suas pás. Vamos precisar entender um pouquinho de mecânica dos fluidos e de rotação para chegar na resposta. Basicamente, vamos usar fórmulas que relacionam a velocidade do jato, a rotação da turbina e as características da água para encontrar a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potência. Potência é a quantidade de energia que é transferida ou transformada por unidade de tempo. No caso da turbina de Pelton, a água que bate nas pás transfere energia para a turbina, fazendo-a girar.

Passo 3

A potência ( ) pode ser calculada multiplicando a força que a água exerce sobre as pás pela velocidade com que a turbina está girando. A força que a água exerce é relacionada à quantidade de água que está passando (vazão volumétrica ), à densidade da água ( ), e à mudança de velocidade do jato de água.

Passo 4

A mudança de velocidade do jato de água é , onde é a velocidade inicial do jato e é a velocidade tangencial da ponta da pá devido à rotação da turbina. Esse termo representa a diferença entre a velocidade da água e a velocidade da pá.

Passo 5

Além disso, a potência também depende do ângulo com o qual o jato de água sai das pás. Esse ângulo afeta a força exercida pela água na turbina. A expressão leva isso em conta, pois representa a componente da força que efetivamente contribui para girar a turbina.

Passo 6

Juntando tudo, a potência produzida pela turbina de Pelton pode ser expressa pela fórmula:
dotWeixo = rho omega r dotforall (Vj - omega r) (1 - cos beta)
Aqui:
  • é a densidade da água,
  • é a velocidade angular da turbina,
  • é o raio da turbina,
  • é a vazão volumétrica,
  • é a velocidade do jato de água,
  • é o ângulo de saída do jato.

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor numérico usando os dados fornecidos:
rho = 1000 , kg/m^3, r = 2 , m, dotforall = 10 , m^3/s, f = 150 , rpm, beta = 160^circ, Vj = 50 , m/s
Primeiro, precisamos converter a frequência de rotação omega = 2pi f60 = 2pi times 15060 = 15.708 , rad/s de rpm para rad/s:
dotWeixo = 1000 times 15.708 times 2 times 10 times (50 - 15.708 times 2) times (1 - cos 160^circ)
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da potência:
omega r = 15.708 times 2 = 31.416 , m/s
Calculando passo a passo:
Vj - omega r = 50 - 31.416 = 18.584 , m/s
1 - cos 160^circ approx 1 - (-0.9397) = 1.9397
dotWeixo = 1000 times 15.708 times 2 times 10 times 18.584 times 1.9397 approx 1.131 times 10^7 , W
Finalmente:

Resposta

A potência produzida pela turbina de Pelton é aproximadamente Watts.

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