Os seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
c)
; R: não
c)
Passo 1
Então, galera, temos um campo de escoamento definido pelas velocidades
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse escoamento é irrotacional. Para isso, vamos usar conceitos de vorticidade e rotacional que fazem parte da matéria de Mecânica dos Fluidos. Basicamente, um escoamento é irrotacional se não houver rotação ou “giro” nas partículas do fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser irrotacional. Em termos matemáticos, a vorticidade de um escoamento bidimensional (com componentes
e
) é dada por:
Se essa vorticidade
for igual a zero em todo o campo, então o escoamento é irrotacional.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar a vorticidade:
-
Calculamos
: -
Calculamos
:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula da vorticidade:
Passo 5
Para que o escoamento seja irrotacional, a vorticidade
precisa ser igual a zero:
Passo 6
A equação acima mostra que
somente nos instantes em que
ou
. Para quaisquer outros valores de
, a vorticidade não é zero, o que significa que o escoamento não é irrotacional nesses momentos.
Resposta
Não, os campos de escoamento apresentados não são irrotacionais.