Os seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
c) u=x t+2 y ; v=x t^2-y t; R: não

Passo 1

Então, galera, temos um campo de escoamento definido pelas velocidades e . Nosso objetivo aqui é descobrir se esse escoamento é irrotacional. Para isso, vamos usar conceitos de vorticidade e rotacional que fazem parte da matéria de Mecânica dos Fluidos. Basicamente, um escoamento é irrotacional se não houver rotação ou “giro” nas partículas do fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser irrotacional. Em termos matemáticos, a vorticidade de um escoamento bidimensional (com componentes omega = partial vpartial x - partial upartial y e ) é dada por:
Se essa vorticidade for igual a zero em todo o campo, então o escoamento é irrotacional.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar a vorticidade:
  1. Calculamos v = x t^2 - y t partial vpartial x = t^2 :
    u = x t + 2 y partial upartial y = 2
  2. Calculamos :

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula da vorticidade:
omega = partial vpartial x - partial upartial y = t^2 - 2

Passo 5

Para que o escoamento seja irrotacional, a vorticidade t^2 - 2 = 0 t^2 = 2 t = raiz2 ou t = -raiz2 precisa ser igual a zero:

Passo 6

A equação acima mostra que somente nos instantes em que ou . Para quaisquer outros valores de , a vorticidade não é zero, o que significa que o escoamento não é irrotacional nesses momentos.

Resposta

Não, os campos de escoamento apresentados não são irrotacionais.

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