Caccule as integrais deffindas: integral0^3 sen^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 3. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais definidas e integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^3(x) = sin(x) cdot sin^2(x) = sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) . Sabemos que , então podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos preparar para a substituição. Observamos que temos u = cos(x) na expressão, o que sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) dx
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando essa substituição. A integral fica:
integral0^3 sin^3(x) , dx = integral0^3 sin(x) (1 - cos^2(x)) , dx
Substituindo integral sin(x) (1 - cos^2(x)) , dx = -integral (1 - u^2) , du e , temos:

Passo 5

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para os novos valores de u = cos(0) = 1 . Quando u = cos(3) :
-integral1^cos(3) (1 - u^2) , du
E quando :
Então, a integral com os novos limites fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
-integral (1 - u^2) , du = -( integral 1 , du - integral u^2 , du ) = -( u - u^33 ) + C
Como é uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
-[ ( u - u^33 ) |1^cos(3) ] = -( cos(3) - cos^3(3)3 - (1 - 13) )
Simplificando:
-( cos(3) - cos^3(3)3 - 23 ) = -cos(3) + cos^3(3)3 + 23

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
23 - cos(3) + cos^3(3)3

Exercícios relacionados