Caccule as integrais deffindas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 a 3. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais definidas e integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, então podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos preparar para a substituição. Observamos que temos
na expressão, o que sugere que podemos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando essa substituição. A integral fica:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para os novos valores de
. Quando
:
E quando
:
Então, a integral com os novos limites fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Como é uma integral definida, não precisamos da constante
.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: