Calcular a integral de linha de sobre uma curva suave C que admite a parametrização .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de linha de sobre uma curva suave . A curva é parametrizada por para . Vamos usar o conceito de integral de linha de um campo escalar e a parametrização da curva para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de linha de um campo escalar ao longo de uma curva parametrizada por é dada por:
Aqui, é a norma do vetor derivada da parametrização, que representa o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos encontrar , a derivada de em relação a :
Derivando cada componente:

Passo 4

Agora, calculamos a norma de :
Então, .

Passo 5

Vamos substituir na função :
Na parametrização, , então:

Passo 6

Agora, montamos a integral:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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c) Calcule a marginal de Y.
Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
(2) .