Caccule as integrais deffindas: integral1^infty e^-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais no cálculo integral, especificamente envolvendo integrais impróprias por causa do limite superior que vai ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções exponenciais e como lidar com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma integral com limite de integração que vai ao infinito, ela é chamada de integral imprópria. Para resolver, transformamos o limite infinito em um limite finito. Então, reescrevemos a integral assim:
integral1^infty e^-3 x , dx = limb to infty integral1^b e^-3 x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral e^k x , dx = 1k e^k x + C . A função integral e^-3 x , dx = 1-3 e^-3 x + C = -13 e^-3 x + C é uma função exponencial, e sua integral é conhecida. A regra básica de integração para é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Voltando à nossa integral definida, substituímos o resultado da antiderivada nos limites de 1 a integral1^b e^-3 x , dx = [ -13 e^-3 x ]1^b = -13 e^-3 b + 13 e^-3 cdot 1 :

Passo 5

Agora, aplicamos o limite à expressão obtida, ou seja, fazemos limb to infty ( -13 e^-3 b + 13 e^-3 ) tender a infinito:
limb to infty ( -13 cdot 0 + 13 e^-3 ) = 13 e^-3
Sabemos que tende a zero quando vai para infinito, porque a exponencial negativa cresce muito rápido. Portanto:

Resposta

A integral definida é igual a .

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