Calcule a integral:
d) integral(e^t imath+2 t jmath+ln (t) k) d t.

Passo 1

Vamos calcular a integral da função vetorial integral(e^t imath+2 t jmath+ln (t) k) dt. Isso faz parte da matéria de Cálculo de Integrais, especificamente integrando funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente da função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente na direção imath, que é e^t. Sabemos que a integral de e^t em relação a t é e^t, pois a função e^t é sua própria derivada e integral.

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente na direção jmath, que é 2t. A integral de 2t em relação a t é 2 cdot t^22 = t^2. Aqui usamos a regra de potência para integrais, onde integral t^n dt = t^n+1n+1.

Passo 4

Por último, vamos integrar a componente na direção k, que é ln(t). A integral de ln(t) em relação a t é t ln(t) - t. Isso pode ser encontrado usando a integração por partes, onde escolhemos u = ln(t) e dv = dt.

Resposta

A integral é igual a e^t imath + t^2 jmath + (t ln(t) - t) k + C, onde C é a constante de integração.

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