Suponha que a variável aleatória bidimensional tenha fdp conjunta
c) Calcule a marginal de Y.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a marginal de Y da função de densidade conjunta . Isso faz parte da matéria de probabilidade, especificamente trabalhando com variáveis aleatórias conjuntas. Para resolver isso, vamos integrar a função conjunta em relação a , de forma a obter a função de densidade marginal de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade marginal. Quando temos uma função de densidade conjunta , a marginal de , denotada por , é obtida integrando sobre todos os valores possíveis de . Matematicamente, isso é:
No nosso caso, a função é diferente de zero apenas para e . Então, a integral fica limitada a esses intervalos.
Passo 3
Vamos escrever a expressão específica para :
Isso porque fora desses limites, , e só precisamos considerar onde a função é não nula.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Separando a integral em duas partes para facilitar o cálculo.
Passo 5
Calculando cada parte:
:
y3 times 12 = y6 :
Multiplicando pela constante :
Passo 6
Agora, somando os resultados das duas integrais:
fY(y) = 13 + y6
Resposta
A função de densidade marginal de fY(y) = 13 + y6 para 0 <= y <= 2 é: