Suponha que a variável aleatória bidimensional (X, Y) tenha fdp conjunta
f(x, y)= x^2+x y3 & se 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0 & se c c
c) Calcule a marginal de Y.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a marginal de Y da função de densidade conjunta . Isso faz parte da matéria de probabilidade, especificamente trabalhando com variáveis aleatórias conjuntas. Para resolver isso, vamos integrar a função conjunta em relação a , de forma a obter a função de densidade marginal de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade marginal. Quando temos uma função de densidade conjunta fY(y) = integral-infty^+infty f(x, y) , dx , a marginal de , denotada por , é obtida integrando sobre todos os valores possíveis de . Matematicamente, isso é:
No nosso caso, a função é diferente de zero apenas para e . Então, a integral fica limitada a esses intervalos.

Passo 3

Vamos escrever a expressão específica para fY(y) = integral0^1 ( x^2 + x y3 ) dx :
Isso porque fora desses limites, , e só precisamos considerar onde a função é não nula.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
fY(y) = integral0^1 x^2 , dx + y3 integral0^1 x , dx
Separando a integral em duas partes para facilitar o cálculo.

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. integral x^2 , dx = x^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 :
integral x , dx = x^22 |0^1 = 1^22 - 0^22 = 12
  1. y3 times 12 = y6 :
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Agora, somando os resultados das duas integrais:
fY(y) = 13 + y6

Resposta

A função de densidade marginal de fY(y) = 13 + y6 para 0 <= y <= 2 é:

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