Caclule as integrais indicadas.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão faz parte do conteúdo de cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica conhecida como substituição trigonométrica e explorar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que a função é uma potência ímpar de cosseno. Quando temos uma potência ímpar de coseno, podemos separar um fator de e reescrever o restante em termos de . A ideia é facilitar a substituição. Vamos fazer isso:

Passo 3

Agora, utilizamos a identidade trigonométrica para reescrever :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, fazemos a substituição . Assim, o diferencial . Isso simplifica a integral:
Além disso, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral passa a ser:

Passo 5

Agora, expandimos :
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando termo a termo:

Passo 7

Somando os resultados das integrais:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(b)
por substituição trigonométrica
Determine o valor das funções trigonométricas tan, cotan, sec e csc nos seguintes ângulos:
a)
b)
c)
d)
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a)
por substituição com
Esboce a região delimitada pelas curvas . Calcule a área dessa região.