Caclule as integrais indicadas.
(b) integral0^pi / 2 cos ^5 y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão faz parte do conteúdo de cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica conhecida como substituição trigonométrica e explorar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que a função cos^5 y = cos^4 y cdot cos y = (cos^2 y)^2 cdot cos y é uma potência ímpar de cosseno. Quando temos uma potência ímpar de coseno, podemos separar um fator de e reescrever o restante em termos de . A ideia é facilitar a substituição. Vamos fazer isso:

Passo 3

Agora, utilizamos a identidade trigonométrica (cos^2 y)^2 = (1 - sin^2 y)^2 para reescrever integral0^pi / 2 cos^5 y , dy = integral0^pi / 2 (1 - sin^2 y)^2 cdot cos y , dy :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, fazemos a substituição integral (1 - u^2)^2 , du . Assim, o diferencial integral0^1 (1 - u^2)^2 , du . Isso simplifica a integral:
Além disso, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, a integral passa a ser:

Passo 5

Agora, expandimos (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
integral0^1 (1 - 2u^2 + u^4) , du
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral0^1 1 , du = [ u ]0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 -2u^2 , du = -2 [ u^33 ]0^1 = -2 ( 13 - 0 ) = -23
integral0^1 u^4 , du = [ u^55 ]0^1 = 15 - 0 = 15

Passo 7

Somando os resultados das integrais:
1 - 23 + 15 = 1515 - 1015 + 315 = 815

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados