Caclule as integrais indicadas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão faz parte do conteúdo de cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica conhecida como substituição trigonométrica e explorar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, observe que a função
é uma potência ímpar de cosseno. Quando temos uma potência ímpar de coseno, podemos separar um fator de
e reescrever o restante em termos de
. A ideia é facilitar a substituição. Vamos fazer isso:
Passo 3
Agora, utilizamos a identidade trigonométrica
para reescrever
:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, fazemos a substituição
. Assim, o diferencial
. Isso simplifica a integral:
Além disso, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando
, - Quando
,
Portanto, a integral passa a ser:
Passo 5
Agora, expandimos
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Passo 7
Somando os resultados das integrais:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(b)
por substituição trigonométrica
(b)
por substituição trigonométrica
Determine o valor das funções trigonométricas tan, cotan, sec e csc nos seguintes ângulos:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a)
por substituição com
(a)
por substituição com
Esboce a região delimitada pelas curvas
. Calcule a área dessa região.