Esboce a região delimitada pelas curvas
. Calcule a área dessa região.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas:
e
. O objetivo é esboçar a região limitada por essas curvas e calcular a área dessa região. Para fazer isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam, determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo e então calcular a integral que representa essa área.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo essa equação para
:
Portanto, os pontos de interseção ocorrem em
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, precisamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo entre
e
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
, e substituir nas duas equações:
Para
:
Para
:
Como
, a curva
está acima da curva
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos calcular a área entre as curvas integrando a diferença das funções no intervalo de
a
. A fórmula para a área
é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Multiplicando por 2:
Agora, subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a)
por substituição com
(a)
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Caclule as integrais indicadas.
(b)
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Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
6.
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38.
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