Esboce a região delimitada pelas curvas . Calcule a área dessa região.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . O objetivo é esboçar a região limitada por essas curvas e calcular a área dessa região. Para fazer isso, vamos precisar encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam, determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo e então calcular a integral que representa essa área.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as equações:
Resolvendo essa equação para :
Portanto, os pontos de interseção ocorrem em e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, precisamos determinar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo entre e . Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, , e substituir nas duas equações:
Para :
Para :
Como , a curva está acima da curva nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos calcular a área entre as curvas integrando a diferença das funções no intervalo de a . A fórmula para a área é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Multiplicando por 2:
Agora, subtraindo as duas partes:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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(b)
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38.