Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(b)
por substituição trigonométrica
(b)
por substituição trigonométrica
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está ligado ao estudo de integrais que envolvem raízes quadradas, e a gente vai usar uma técnica chamada substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a substituição usando funções trigonométricas, especificamente usando
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição trigonométrica sugerida:
. Isso significa que estamos expressando
em termos de
usando a função secante. A razão disso é simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
. Se
, então:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, usamos a identidade trigonométrica
:
Passo 6
Calculando as integrais:
Então, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então:
Além disso, da substituição
, temos:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a integral resolve para: