Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(b) integral raizx^2-9x d x
por substituição trigonométrica com x=3 sec theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está ligado ao estudo de integrais que envolvem raízes quadradas, e a gente vai usar uma técnica chamada substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a substituição usando funções trigonométricas, especificamente usando .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição trigonométrica sugerida: . Isso significa que estamos expressando em termos de usando a função secante. A razão disso é simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dx = 3 sec theta tan theta , dtheta em relação a para substituir o diferencial . Se , então:

Passo 4

Vamos substituir integral raiz(3 sec theta)^2 - 93 sec theta cdot 3 sec theta tan theta , dtheta e raiz9 sec^2 theta - 9 = raiz9 (sec^2 theta - 1) = raiz9 tan^2 theta = 3 tan theta na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 3 tan theta3 sec theta cdot 3 sec theta tan theta , dtheta = integral 3 tan^2 theta , dtheta
Agora, usamos a identidade trigonométrica integral 3 (sec^2 theta - 1) , dtheta = 3 integral sec^2 theta , dtheta - 3 integral dtheta :

Passo 6

Calculando as integrais:
3 integral sec^2 theta , dtheta = 3 tan theta
3 integral dtheta = 3 theta
Então, a integral fica:
3 tan theta - 3 theta + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sec theta = x3 implies theta = sec^-1 ( x3 ) . Sabemos que tan theta = raizsec^2 theta - 1 = raiz( x3 )^2 - 1 = raizx^2 - 93 , então:
3 tan theta = 3 cdot raizx^2 - 93 = raizx^2 - 9
Além disso, da substituição 3 theta = 3 sec^-1 ( x3 ) , temos:
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral resolve para:
raizx^2 - 9 - 3 sec^-1 ( x3 ) + C

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