Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a) integral-1^1(x+1)(x+2)(x+3) d x
por substituição com u=x+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida integral-1^1(x+1)(x+2)(x+3) , dx usando a técnica de substituição, onde u = x + 1. Estamos trabalhando com integrais polinomiais e vamos usar a substituição para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição indicada: u = x + 1. Isso significa que a derivada de u em relação a x é du = dx. Portanto, podemos substituir dx por du na integral.

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de u. Quando x = -1, substituindo na equação u = x + 1, temos u = -1 + 1 = 0. Quando x = 1, u = 1 + 1 = 2. Então, a integral agora vai de u = 0 até u = 2.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão (x+1)(x+2)(x+3) em termos de u. Sabendo que u = x + 1, podemos expressar x como x = u - 1. Substituindo:
  • (x + 1) = u
  • (x + 2) = (u - 1) + 2 = u + 1
  • (x + 3) = (u - 1) + 3 = u + 2
Então, a expressão fica: u(u + 1)(u + 2).

Passo 5

Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:
u(u + 1)(u + 2) = u cdot (u^2 + 3u + 2) = u^3 + 3u^2 + 2u

Passo 6

Substituímos de volta na integral com os novos limites:
integral0^2 (u^3 + 3u^2 + 2u) , du
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Vamos integrar cada termo individualmente:
  • integral u^3 , du = u^44
  • integral 3u^2 , du = 3 cdot u^33 = u^3
  • integral 2u , du = 2 cdot u^22 = u^2
Então, a antiderivada é: u^44 + u^3 + u^2

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 2:
[ 2^44 + 2^3 + 2^2 ] - [ 0^44 + 0^3 + 0^2 ] = [ 164 + 8 + 4 ] - 0 = 4 + 8 + 4 = 16

Resposta

A integral avaliada é igual a 16.

Exercícios relacionados