Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a)
por substituição com
(a)
por substituição com
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida
usando a técnica de substituição, onde
. Estamos trabalhando com integrais polinomiais e vamos usar a substituição para simplificar o cálculo.
Passo 2
Vamos começar fazendo a substituição indicada:
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é
. Portanto, podemos substituir
por
na integral.
Passo 3
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de
. Quando
, substituindo na equação
, temos
. Quando
,
. Então, a integral agora vai de
até
.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão
em termos de
. Sabendo que
, podemos expressar
como
. Substituindo:
Então, a expressão fica:
.
Passo 5
Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:
Passo 6
Substituímos de volta na integral com os novos limites:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Vamos integrar cada termo individualmente:
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 2:
Resposta
A integral avaliada é igual a 16.
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(b)
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(b)
por substituição trigonométrica
(b)
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Esboce a região delimitada pelas curvas
. Calcule a área dessa região.
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
6.
6.