Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(a)
por substituição com

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida usando a técnica de substituição, onde . Estamos trabalhando com integrais polinomiais e vamos usar a substituição para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição indicada: . Isso significa que a derivada de em relação a é . Portanto, podemos substituir por na integral.

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de . Quando , substituindo na equação , temos . Quando , . Então, a integral agora vai de até .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão em termos de . Sabendo que , podemos expressar como . Substituindo:
Então, a expressão fica: .

Passo 5

Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:

Passo 6

Substituímos de volta na integral com os novos limites:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Vamos integrar cada termo individualmente:
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 2:

Resposta

A integral avaliada é igual a 16.

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6.