Determine o valor das funções trigonométricas tan, cotan, sec e csc nos seguintes ângulos:
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os valores das funções trigonométricas tangente (tan), cotangente (cotan), secante (sec) e cossecante (csc) para alguns ângulos específicos: , , radianos e radianos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o círculo trigonométrico e as definições dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são essas funções trigonométricas:
  • Tangente (tan): É a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo, ou seja, .
  • Cotangente (cotan): É o inverso da tangente, então .
  • Secante (sec): É o inverso do cosseno, então .
  • Cossecante (csc): É o inverso do seno, então .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro ângulo: a) . Para encontrar os valores dessas funções, precisamos conhecer os valores de seno e cosseno para . Sabemos que em um triângulo retângulo isósceles com ângulos de , os lados são iguais, e podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar que .

Passo 4

Agora, aplicando as definições:

Passo 5

Passando para o próximo ângulo: b) . Sabemos que em um triângulo retângulo com ângulos de , e , os lados têm proporções de , e . Portanto:

Passo 6

Aplicando as definições das funções:

Passo 7

Agora, vamos para o terceiro ângulo: c) radianos. Sabemos que radianos é equivalente a . Em um triângulo retângulo com ângulos de , e , os lados são proporcionais a , e . Então:

Passo 8

Aplicando as definições das funções:

Passo 9

Por fim, vamos determinar para o último ângulo: d) radianos. Primeiro, vamos converter para graus ou identificar no círculo trigonométrico onde esse ângulo está. Sabemos que radianos equivale a . Esse ângulo está no quarto quadrante, onde o seno é negativo e o cosseno é positivo.

Passo 10

Usando as referências de no círculo trigonométrico:

Passo 11

Aplicando as definições das funções:

Resposta

a) :
b) :
c) :
d) :

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