Determine o valor das funções trigonométricas tan, cotan, sec e csc nos seguintes ângulos:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos os valores das funções trigonométricas tangente (tan), cotangente (cotan), secante (sec) e cossecante (csc) para alguns ângulos específicos:
,
,
radianos e
radianos. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o círculo trigonométrico e as definições dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são essas funções trigonométricas:
- Tangente (tan): É a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo, ou seja,
. - Cotangente (cotan): É o inverso da tangente, então .
- Secante (sec): É o inverso do cosseno, então
. - Cossecante (csc): É o inverso do seno, então
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro ângulo: a)
. Para encontrar os valores dessas funções, precisamos conhecer os valores de seno e cosseno para
. Sabemos que em um triângulo retângulo isósceles com ângulos de
, os lados são iguais, e podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar que
.
Passo 4
Agora, aplicando as definições:
Passo 5
Passando para o próximo ângulo: b)
. Sabemos que em um triângulo retângulo com ângulos de
,
e
, os lados têm proporções de
,
e
. Portanto:
Passo 6
Aplicando as definições das funções:
Passo 7
Agora, vamos para o terceiro ângulo: c)
radianos. Sabemos que
radianos é equivalente a
. Em um triângulo retângulo com ângulos de
,
e
, os lados são proporcionais a
,
e
. Então:
Passo 8
Aplicando as definições das funções:
Passo 9
Por fim, vamos determinar para o último ângulo: d)
radianos. Primeiro, vamos converter para graus ou identificar no círculo trigonométrico onde esse ângulo está. Sabemos que
radianos equivale a
. Esse ângulo está no quarto quadrante, onde o seno é negativo e o cosseno é positivo.
Passo 10
Usando as referências de
no círculo trigonométrico:
Passo 11
Aplicando as definições das funções:
Resposta
a)
:
b)
:
c)
:
d)
:
Exercícios relacionados
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(h)
(h)
Determine todos os valores de
no intervalo
que satisfaçam a desigualdade
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Calcule as integrais usando as técnicas indicadas
(b)
por substituição trigonométrica
(b)
por substituição trigonométrica
Caclule as integrais indicadas.
(b)
(b)