Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se f'(2) = 4 então d/dx [3 f(x) + x^3] | x=2 = d/dx [3 f(x) + 8] | x=2 = 3 f'(2) = 12.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a informação de que e precisamos verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da derivada para somas e constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções individuais. Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de :
    A constante 3 pode ser fatorada para fora da derivada:
  2. Derivada de :
    Utilizamos a regra da potência:

Passo 4

Juntando as derivadas calculadas:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto :
Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a derivada da função :
A derivada de uma constante é zero:

Passo 7

Avaliando no ponto :

Passo 8

Comparando os resultados obtidos:
Portanto, , o que significa que a afirmação dada é falsa.

Resposta

Falsa.

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Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das
seguintes funções: y = (4 + x^2 * f(x)) / x^3
Derive as seguintes funções f(x) = (2 x^7 - x^2) * ((1 - x) / (3 x))
Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
(a) t y' - 2 y = -t
Encontre as derivadas das funções a seguir y = (3)/(4 x) + 2 x * (raiz cúbica(x^2)) + (3)/(raiz(x))