Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
(a)
(a)
Passo 1
Estamos resolvendo uma equação diferencial linear da forma
. Vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações lineares de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Isso envolve identificar a equação na forma padrão e encontrar uma função que nos ajude a simplificar e resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Portanto,
Como
normalmente é positivo em contextos de equações diferenciais, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante arbitrária.