Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
(a) t y' - 2 y = -t

Passo 1

Estamos resolvendo uma equação diferencial linear da forma . Vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações lineares de primeira ordem, especificamente usando o método do fator integrante. Isso envolve identificar a equação na forma padrão e encontrar uma função que nos ajude a simplificar e resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Portanto,
Como normalmente é positivo em contextos de equações diferenciais, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela :
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados