Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das
seguintes funções:
seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são quocientes de outras funções. Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra do produto para derivadas.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as partes da função que vamos derivar. Temos:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 3
Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que a derivada de
é:
Para isso, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Primeiro, calculemos
. Sabemos que:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Usamos a regra do produto para derivar
:
Aqui, derivamos
para obter
e mantivemos
, somando com
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir na fórmula da regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, colocando de volta na expressão de
:
Passo 9
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por
:
Resposta
A derivada da função é: