Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das
seguintes funções: y = (4 + x^2 * f(x)) / x^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são quocientes de outras funções. Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da função que vamos derivar. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Para isso, precisamos encontrar e .

Passo 4

Primeiro, calculemos . Sabemos que:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Usamos a regra do produto para derivar :
Aqui, derivamos para obter e mantivemos , somando com vezes a derivada de , que é .

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:

Passo 8

Agora, colocando de volta na expressão de :

Passo 9

Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por :

Resposta

A derivada da função é:

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