Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das
seguintes funções: y = (4 + x^2 * f(x)) / x^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são quocientes de outras funções. Vamos precisar usar a regra do quociente e a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da função que vamos derivar. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Para isso, precisamos encontrar e .

Passo 4

Primeiro, calculemos . Sabemos que:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Usamos a regra do produto para derivar :
Aqui, derivamos para obter e mantivemos , somando com vezes a derivada de , que é .

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:

Passo 8

Agora, colocando de volta na expressão de :

Passo 9

Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Derive as seguintes funções f(x) = (2 x^7 - x^2) * ((1 - x) / (3 x))
Derive as seguintes funções f(x) = (1/x + 1/x^2)(3x^2 - x + 27)
Para cada afirmação dada a seguir, determine se ela é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se f'(2) = 4 então d/dx [3 f(x) + x^3] | x=2 = d/dx [3 f(x) + 8] | x=2 = 3 f'(2) = 12.
Calcule a solução geral das seguintes equações lineares:
(a) t y' - 2 y = -t