Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(a) Existe um campo vetorial
tal que
(a) Existe um campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão está perguntando se existe um campo vetorial
tal que o rotacional de
seja igual a
em todo ponto de
. Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campo vetorial e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e as condições para que um campo vetorial seja o rotacional de outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo
, temos:
Passo 3
Agora, para que exista um campo
tal que
, o campo
precisa satisfazer certas condições. Uma condição fundamental é que o rotacional de
deve ser zero, ou seja,
. Isso porque, se
existe, então:
Para simplificar, em um espaço sem fontes ou em condições apropriadas, isso implica que
. Ou seja, o campo
precisa ser divergente nulo (
) para que exista um campo
com
.
Passo 4
Além disso, é importante considerar a simply connected (simplesmente conexo) do espaço onde os campos estão definidos. Em
, que é simplesmente conexo, se
é suave (diferenciável) e seu rotacional é zero, então existe um potencial escalar para
. No entanto, para o caso de
ser o rotacional de algum
, precisamos que
seja divergente nulo e que o espaço seja simplesmente conexo, o que é verdade para
.
Passo 5
Portanto, se estamos considerando qualquer campo vetorial
em
, nem todo campo vetorial satisfaz as condições necessárias para ser o rotacional de outro campo. Especificamente, somente os campos divergentes nulos podem ser expressos como o rotacional de algum outro campo vetorial.
Resposta
A afirmação é falsa. Nem todo campo vetorial
em
possui um campo
tal que
. Para que tal
exista, é necessário que
seja divergente nulo (
). Portanto, sem essa condição, não podemos garantir a existência de
.
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.
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sua resposta:
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.
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