Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(a) Existe um campo vetorial tal que

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão está perguntando se existe um campo vetorial tal que o rotacional de seja igual a em todo ponto de . Isso envolve conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente sobre campo vetorial e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e as condições para que um campo vetorial seja o rotacional de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo , temos:

Passo 3

Agora, para que exista um campo tal que , o campo precisa satisfazer certas condições. Uma condição fundamental é que o rotacional de deve ser zero, ou seja, . Isso porque, se existe, então:
Para simplificar, em um espaço sem fontes ou em condições apropriadas, isso implica que . Ou seja, o campo precisa ser divergente nulo ( ) para que exista um campo com .

Passo 4

Além disso, é importante considerar a simply connected (simplesmente conexo) do espaço onde os campos estão definidos. Em , que é simplesmente conexo, se é suave (diferenciável) e seu rotacional é zero, então existe um potencial escalar para . No entanto, para o caso de ser o rotacional de algum , precisamos que seja divergente nulo e que o espaço seja simplesmente conexo, o que é verdade para .

Passo 5

Portanto, se estamos considerando qualquer campo vetorial em , nem todo campo vetorial satisfaz as condições necessárias para ser o rotacional de outro campo. Especificamente, somente os campos divergentes nulos podem ser expressos como o rotacional de algum outro campo vetorial.

Resposta

A afirmação é falsa. Nem todo campo vetorial em possui um campo tal que . Para que tal exista, é necessário que seja divergente nulo ( ). Portanto, sem essa condição, não podemos garantir a existência de .

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