(1 ponto). Considere a mudança de variáveis
h: S -> D, h(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) = (v/u, e^v)
Esboce a região D e também a região S. Exiba os cálculos para determinar a região S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma mudança de variáveis definida pela função que mapeia de uma região para uma região . As fórmulas que definem essa transformação são:
Aqui, estamos lidando com mudança de variáveis em coordenadas, que é um conceito de Cálculo Multivariável. Para resolver, precisamos entender como essa transformação afeta as regiões e e calcular a região com base na região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação . Isso significa que, para cada ponto em , a função nos dá um ponto em , onde:
Queremos esboçar as regiões e . Para isso, precisamos definir as condições que limitam essas regiões.

Passo 3

Vamos supor que a região seja definida por certos limites em e . Porém, como não temos esses limites diretamente, precisamos ajudar a definir em termos de e .
Sabemos que implica que , já que o logaritmo é a função inversa da exponencial. Além disso, pode ser rearranjado para .

Passo 4

Agora, vamos definir as condições para . Suponha que está limitada por variando de a e variando de a . Então, em termos de e , temos:
A partir disso, podemos resolver para em termos de e .

Passo 5

Resolvendo para na desigualdade :
Multiplicando todos os termos por (assumindo que ):
Portanto, a região em termos de e é definida por:

Resposta

A região é definida pelos limites:
E as regiões e podem ser esbo��adas com base nesses limites, mostrando como é mapeada para através da função .

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