(1 ponto). Considere a mudança de variáveis
Esboce a região
e também a região
. Exiba os cálculos para determinar a região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma mudança de variáveis definida pela função
que mapeia de uma região
para uma região
. As fórmulas que definem essa transformação são:
Aqui, estamos lidando com mudança de variáveis em coordenadas, que é um conceito de Cálculo Multivariável. Para resolver, precisamos entender como essa transformação afeta as regiões
e
e calcular a região
com base na região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação
. Isso significa que, para cada ponto
em
, a função
nos dá um ponto
em
, onde:
Queremos esboçar as regiões
e
. Para isso, precisamos definir as condições que limitam essas regiões.
Passo 3
Vamos supor que a região
seja definida por certos limites em
e
. Porém, como não temos esses limites diretamente, precisamos ajudar a definir
em termos de
e
.
Sabemos que
implica que
, já que o logaritmo é a função inversa da exponencial. Além disso,
pode ser rearranjado para
.
Passo 4
Agora, vamos definir as condições para
. Suponha que
está limitada por
variando de
a
e
variando de
a
. Então, em termos de
e
, temos:
A partir disso, podemos resolver para
em termos de
e
.
Passo 5
Resolvendo para
na desigualdade
:
Multiplicando todos os termos por
(assumindo que
):
Portanto, a região
em termos de
e
é definida por:
Resposta
A região
é definida pelos limites:
E as regiões
e
podem ser esbo��adas com base nesses limites, mostrando como
é mapeada para
através da função
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(a) Existe um campo vetorial tal que
(a) Existe um campo vetorial
(4 pontos). Supondo que a densidade de massa em cada ponto do sólido
seja descrita pela função
calcule a massa total de
.
A reta normal no ponto
na superfície dada.
Calcule
onde
utilizando 3 ordens diferentes de integração.