Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta normal no ponto para a superfície definida pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e é perpendicular às superfícies de nível de . No nosso caso, a superfície é definida por . Então, o gradiente de vai nos dar a direção normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a , e :
Calculando cada derivada:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas que encontramos:
Então, o vetor normal à superfície no ponto é .
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. A fórmula geral para uma reta que passa por um ponto com direção é:
Substituindo os valores:
Resposta
A reta normal no ponto na superfície é dada pelas equações paramétricas: