A reta normal no ponto na superfície dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta normal no ponto para a superfície definida pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior variação da função e é perpendicular às superfícies de nível de . No nosso caso, a superfície é definida por . Então, o gradiente de vai nos dar a direção normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . O gradiente é dado pelas derivadas parciais em relação a , e :
Calculando cada derivada:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas que encontramos:
Então, o vetor normal à superfície no ponto é .

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. A fórmula geral para uma reta que passa por um ponto com direção é:
Substituindo os valores:

Resposta

A reta normal no ponto na superfície é dada pelas equações paramétricas:

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(1 ponto). Considere a mudança de variáveis
Esboce a região e também a região . Exiba os cálculos para determinar a região .
Para cada uma das afirmações abaixo, escreva se ela é verdadeira ou falsa e justifique, com detalhes, as suas respostas.
(a) Existe um campo vetorial tal que
Calcule onde utilizando 3 ordens diferentes de integração.
Calcule
Dê uma interpretação para .