Forneça exemplos de curvas e que possuam a mesma imagem mas que tenham comprimentos diferentes. Justifique sua resposta.

Passo 1

Tudo bem! Então, a questão pede para a gente encontrar dois caminhos (chamados de curvas) que passam pelo mesmo lugar no espaço, mas que têm comprimentos diferentes. A matéria envolvida aqui é sobre curvas no espaço e comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas e calcular o comprimento delas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma curva simples, como um círculo. Vamos definir duas curvas, e , que têm a mesma imagem, ou seja, ambas são círculos do mesmo tamanho, mas são percorridas de maneiras diferentes.

Passo 3

Vamos definir a primeira curva como:
Essa é a parametrização padrão do círculo unitário, que percorre o círculo uma vez conforme varia de a .

Passo 4

Agora, vamos definir a segunda curva de forma que ela também percorra o mesmo círculo, mas de maneira diferente. Vamos fazer ela dar duas voltas no mesmo intervalo de :
Aqui, o fator faz com que percorra o círculo duas vezes enquanto varia de a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento de cada curva. O comprimento de uma curva parametrizada por $ \gamma(t) = (x(t), y(t)) $ de a é dado por:

Passo 6

Para a curva :
Então,

Passo 7

Para a curva :
Então,

Resposta

As curvas para e para têm a mesma imagem (um círculo unitário), mas seus comprimentos são diferentes: e .

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Calcule as seguintes integrais:
Para cada um dos itens abaixo, calcule .
Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas e são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?