Forneça exemplos de curvas
e
que possuam a mesma imagem mas que tenham comprimentos diferentes. Justifique sua resposta.
Passo 1
Tudo bem! Então, a questão pede para a gente encontrar dois caminhos (chamados de curvas) que passam pelo mesmo lugar no espaço, mas que têm comprimentos diferentes. A matéria envolvida aqui é sobre curvas no espaço e comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas e calcular o comprimento delas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma curva simples, como um círculo. Vamos definir duas curvas,
e
, que têm a mesma imagem, ou seja, ambas são círculos do mesmo tamanho, mas são percorridas de maneiras diferentes.
Passo 3
Vamos definir a primeira curva
como:
Essa é a parametrização padrão do círculo unitário, que percorre o círculo uma vez conforme
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos definir a segunda curva
de forma que ela também percorra o mesmo círculo, mas de maneira diferente. Vamos fazer ela dar duas voltas no mesmo intervalo de
:
Aqui, o fator
faz com que
percorra o círculo duas vezes enquanto
varia de
a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento de cada curva. O comprimento de uma curva parametrizada por $ \gamma(t) = (x(t), y(t)) $ de
a
é dado por:
Passo 6
Para a curva
:
Então,
Passo 7
Para a curva
:
Então,
Resposta
As curvas
para
e
para
têm a mesma imagem (um círculo unitário), mas seus comprimentos são diferentes:
e
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
Para cada um dos itens abaixo, calcule
.
Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas
e
são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?