Para cada autovalor
obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores
associados a
pela equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para a gente encontrar um conjunto de autovetores que sejam lineares e estejam associados a um autovalor específico
, usando a equação
. Isso está dentro do assunto de álgebra linear, mais especificamente, falando sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como resolver equações de autovalores e encontrar os vetores que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Um autovalor
de uma transformação linear
é um escalar tal que existe um vetor não nulo
(o autovetor) que satisfaz a equação
. Ou seja, aplicar a transformação
no vetor
apenas escala o vetor pelo fator
.
Passo 3
Para encontrar os autovetores associados a um autovalor específico
, a gente precisa resolver a equação
. Isso pode ser reescrito como
, onde
é a matriz identidade da mesma dimensão que
.
Passo 4
A equação
é um sistema homogêneo. Resolver esse sistema significa encontrar o espaço nulo (ou kernel) da matriz
. Os vetores não nulos nesse espaço nulo são os autovetores associados ao autovalor
.
Passo 5
Para encontrar uma base para esse espaço nulo, você pode:
- Escrever a matriz
. - Resolver o sistema linear correspondente
usando métodos como eliminação de Gauss. - Identificar os vetores livres que formam a base do espaço nulo.
Esses vetores livres serão seus autovetores, e como eles são livres, eles são linearmente independentes.
Passo 6
Repetindo esse processo para cada autovalor
obtido no item anterior, você vai encontrar um conjunto de autovetores lineares para cada
. Isso garante que você tenha uma base adequada de autovetores associados a cada autovalor.
Resposta
Assim, para cada autovalor
, o conjunto de autovetores
que satisfazem
pode ser encontrado resolvendo
e identificando os vetores livres que formam uma base para o espaço nulo dessa matriz. Esses vetores serão linearmente independentes e constituirão o conjunto de autovetores desejado.
Exercícios relacionados
Obtenha as raízes de
, os autovalores de
. Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
Escreva o polinômio característico
. Qual o grau desse polinômio na variável
?
O conjunto
de autovetores que você encontrou forma uma base de
? Se sim, escreva a matriz de mudança de base de
para a base canônica
.
Encontre o operador linear
, tal que
tenha autovalores -1 e 3 , associados respectivamente aos autovetores
e
.