Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para a gente encontrar um conjunto de autovetores que sejam lineares e estejam associados a um autovalor específico , usando a equação . Isso está dentro do assunto de álgebra linear, mais especificamente, falando sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como resolver equações de autovalores e encontrar os vetores que satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Um autovalor de uma transformação linear é um escalar tal que existe um vetor não nulo (o autovetor) que satisfaz a equação . Ou seja, aplicar a transformação no vetor apenas escala o vetor pelo fator .

Passo 3

Para encontrar os autovetores associados a um autovalor específico , a gente precisa resolver a equação . Isso pode ser reescrito como , onde é a matriz identidade da mesma dimensão que .

Passo 4

A equação é um sistema homogêneo. Resolver esse sistema significa encontrar o espaço nulo (ou kernel) da matriz . Os vetores não nulos nesse espaço nulo são os autovetores associados ao autovalor .

Passo 5

Para encontrar uma base para esse espaço nulo, você pode:
  1. Escrever a matriz .
  2. Resolver o sistema linear correspondente usando métodos como eliminação de Gauss.
  3. Identificar os vetores livres que formam a base do espaço nulo.
Esses vetores livres serão seus autovetores, e como eles são livres, eles são linearmente independentes.

Passo 6

Repetindo esse processo para cada autovalor obtido no item anterior, você vai encontrar um conjunto de autovetores lineares para cada . Isso garante que você tenha uma base adequada de autovetores associados a cada autovalor.

Resposta

Assim, para cada autovalor , o conjunto de autovetores que satisfazem pode ser encontrado resolvendo e identificando os vetores livres que formam uma base para o espaço nulo dessa matriz. Esses vetores serão linearmente independentes e constituirão o conjunto de autovetores desejado.

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