O conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base de ? Se sim, escreva a matriz de mudança de base de para a base canônica .

Passo 1

Então, a gente tem que ver se o conjunto de autovetores que você encontrou forma uma base para o espaço . Se formar, vamos precisar montar a matriz que faz a mudança dessa base para a base canônica. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, bases e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, para ser uma base de , ele precisa ter exatamente 2 vetores e esses vetores devem ser linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Se os autovetores de satisfazem isso, então é uma base.

Passo 3

Assumindo que é uma base (ou seja, tem 2 vetores linearmente independentes), o próximo passo é encontrar a matriz de mudança de base de para a base canônica. A base canônica em é normalmente .

Passo 4

A matriz de mudança de base é construída colocando os vetores de como colunas na matriz. Ou seja, se , então:
Isso porque cada coluna da matriz representa como transformar os vetores de para a base canônica.

Passo 5

Finalmente, basta substituir os autovetores específicos que você tem em na matriz acima. Por exemplo, se e , então:

Resposta

Sim, o conjunto forma uma base de . A matriz de mudança de base de para a base canônica é:
Onde e são os autovetores que compõem a base .

Exercícios relacionados

Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação .
Obtenha as raízes de , os autovalores de . Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
Encontre o operador linear , tal que tenha autovalores -1 e 3 , associados respectivamente aos autovetores e .
Encontre os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares abaixo: dado por .