Escreva o polinômio característico . Qual o grau desse polinômio na variável ?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre polinômio característico de uma matriz, que é uma coisa que a gente estuda em álgebra linear. A gente precisa escrever esse polinômio e descobrir qual é o grau dele em relação a . Para isso, vamos precisar saber como calcular o determinante e entender como ele se relaciona com o polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como indicar se a matriz é invertível ou não. Quando a gente escreve , estamos subtraindo multiplicado pela matriz identidade da matriz .

Passo 3

Agora, o polinômio característico é justamente o determinante dessa matriz . Esse polinômio vai ser uma expressão em termos de , e a gente quer saber qual é o grau desse polinômio. O grau de um polinômio é o maior expoente da variável, que no caso é .

Passo 4

Para descobrir o grau, vamos pensar no tamanho da matriz . Se a matriz for , ou seja, tem linhas e colunas, então o determinante de vai resultar em um polinômio de grau . Isso porque cada linha da matriz contribui com uma potência de , e no final, a maior potência será .

Resposta

O polinômio característico é de grau , onde é o tamanho da matriz .

Exercícios relacionados

Seja um operador linear dado por . Determine uma base de em relação à qual a matriz do operador é diagonal.
Seja . Calcule:
Obtenha as raízes de , os autovalores de . Qual a multiplicidade algébrica de cada raiz?
Para cada autovalor obtido no item anterior, encontre um conjunto L.I. de autovetores associados a pela equação .