Escreva o polinômio característico
. Qual o grau desse polinômio na variável
?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre polinômio característico de uma matriz, que é uma coisa que a gente estuda em álgebra linear. A gente precisa escrever esse polinômio
e descobrir qual é o grau dele em relação a
. Para isso, vamos precisar saber como calcular o determinante e entender como ele se relaciona com o polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como indicar se a matriz é invertível ou não. Quando a gente escreve
, estamos subtraindo
multiplicado pela matriz identidade
da matriz
.
Passo 3
Agora, o polinômio característico é justamente o determinante dessa matriz
. Esse polinômio vai ser uma expressão em termos de
, e a gente quer saber qual é o grau desse polinômio. O grau de um polinômio é o maior expoente da variável, que no caso é
.
Passo 4
Para descobrir o grau, vamos pensar no tamanho da matriz
. Se a matriz for
, ou seja, tem
linhas e
colunas, então o determinante de
vai resultar em um polinômio de grau
. Isso porque cada linha da matriz contribui com uma potência de
, e no final, a maior potência será
.
Resposta
O polinômio característico
é de grau
, onde
é o tamanho da matriz
.