Para cada campo vetorial dado, verifique se o mesmo é conservativo em
, e, se for, calcule a função potencial.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos o campo vetorial
em
. Precisamos verificar se esse campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial correspondente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo do rotacional e integração de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
para verificar se ele é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for igual a zero em todo o espaço.
Passo 3
Calculando o rotacional de
:
Passo 4
Calculando cada componente:
-
Primeira componente:Então:
-
Segunda componente:Então:
-
Terceira componente:Então:
Portanto, o rotacional é:
Passo 5
Para o campo
ser conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Observamos que:
Essas igualdades só seriam verdadeiras para valores específicos de
,
e
, mas não de forma geral para todo o espaço
. Portanto, o rotacional de
não é zero, o que significa que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo
não é conservativo.