Para cada campo vetorial dado, verifique se o mesmo é conservativo em R^3, e, se for, calcule a função potencial.
F(x, y, z) = (x * y, x * y * z, -y^2).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos o campo vetorial em R^3. Precisamos verificar se esse campo é conservativo e, se for, encontrar a função potencial correspondente. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo do rotacional e integração de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F para verificar se ele é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for igual a zero em todo o espaço.

Passo 3

Calculando o rotacional de F:

Passo 4

Calculando cada componente:
  • Primeira componente:
    Então:
  • Segunda componente:
    Então:
  • Terceira componente:
    Então:
Portanto, o rotacional é:

Passo 5

Para o campo F ser conservativo, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Observamos que:
Essas igualdades só seriam verdadeiras para valores específicos de x, y e z, mas não de forma geral para todo o espaço R^3. Portanto, o rotacional de F não é zero, o que significa que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo F não é conservativo.

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