Calcule o fio delgado, descrito pela curva α(t) = (cos(t), t, sen(t)) com t ∈ [0, pi/2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento de um fio delgado descrito pela curva para no intervalo t. Isso envolve o conteúdo de cálculo de comprimento de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e calcular as derivadas das componentes da função [0, pi/2].

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada por onde t varia de a até b. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções x(t), y(t) e z(t) da nossa curva alpha(t):
Em seguida, calculamos as derivadas de cada uma delas com relação a :
  • t

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Simplificando os quadrados:

Passo 5

Lembrando que sabemos que , podemos substituir na expressão:

Passo 6

Como raiz(2) é uma constante, podemos tirá-la da integral:

Resposta

O comprimento do fio delgado é unidades de comprimento.

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