Calcule o fio delgado, descrito pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento de um fio delgado descrito pela curva para
no intervalo
. Isso envolve o conteúdo de cálculo de comprimento de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e calcular as derivadas das componentes da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada por
onde
varia de
até
. A fórmula é:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções
,
e
da nossa curva
:
Em seguida, calculamos as derivadas de cada uma delas com relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Simplificando os quadrados:
Passo 5
Lembrando que sabemos que , podemos substituir na expressão:
Passo 6
Como
é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Resposta
O comprimento do fio delgado é
unidades de comprimento.