Calcule as integrais de linha.
integral(0,0)^(raize,-1) xx^2+(y+1)^2 i+y+1x^2+(y+1)^2 j d r.

Passo 1

Vamos resolver uma integral de linha do campo vetorial F = dfracxx^2+(y+1)^2 i + dfracy+1x^2+(y+1)^2 j, ao longo do caminho de (0,0) até (raize, -1). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial f(x,y) tal que F = nabla f. Uma condição para isso, em duas dimensões, é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja, dfracpartial Ppartial y = dfracpartial Qpartial x, onde F = Pi + Qj.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
P = dfracxx^2 + (y+1)^2
dfracpartial Ppartial y = dfrac-2x(y+1)(x^2 + (y+1)^2)^2
Q = dfracy+1x^2 + (y+1)^2
dfracpartial Qpartial x = dfrac-2x(y+1)(x^2 + (y+1)^2)^2
Como dfracpartial Ppartial y = dfracpartial Qpartial x, o campo F é conservativo.

Passo 4

Como o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial f(x,y) tal que:
f(x,y) = integral P , dx = integral dfracxx^2 + (y+1)^2 dx
Fazendo a substituição u = x^2 + (y+1)^2, du = 2x dx, então:
f(x,y) = dfrac12 ln(x^2 + (y+1)^2) + C
Podemos ignorar a constante C para calcular a integral de linha.

Passo 5

Agora, calculamos a integral de linha usando a função potencial:
integral(0,0)^(raize,-1) F cdot dr = f(raize, -1) - f(0,0)
Substituindo os valores:
f(raize, -1) = dfrac12 ln( (raize)^2 + (-1 +1)^2 ) = dfrac12 ln(e) = dfrac12
f(0,0) = dfrac12 ln(0^2 + (0+1)^2) = dfrac12 ln(1) = 0

Resposta

A integral de linha vale dfrac12.

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