Calcule as integrais de linha.
.
Passo 1
Vamos resolver uma integral de linha do campo vetorial
, ao longo do caminho de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma condição para isso, em duas dimensões, é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja,
, onde
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Como o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Fazendo a substituição
,
, então:
Podemos ignorar a constante
para calcular a integral de linha.
Passo 5
Agora, calculamos a integral de linha usando a função potencial:
Substituindo os valores:
Resposta
A integral de linha vale
.