Calcule as integrais de linha:
de
sobre a fronteira do triângulo de vértices
,
e
, orientado no sentido de
para
, seguindo de
para
e de
até
.
de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da fronteira de um triângulo com vértices em
,
e
. A orientação do percurso segue de
para
, depois para
e retorna a
. Para resolver isso, vamos usar a parametrização das curvas que formam a fronteira do triângulo e calcular a integral para cada segmento.
Passo 2
Vamos dividir a fronteira do triângulo em três segmentos:
- De
a : de a - De
a : de a - De
a : de a
Vamos parametrizar cada segmento separadamente.
Passo 3
Segmento 1: De
a
Aqui, apenas a coordenada
varia de 1 a 0, enquanto
e
permanecem constantes. Podemos parametrizar como:
O vetor derivada
é:
Segmento 2: De
a
Aqui,
varia de 0 a 1,
de 0 a 1, e
de 0 a 1. A parametrização pode ser:
O vetor derivada
é:
Segmento 3: De
a
Aqui,
varia de 1 a 0,
permanece em 1, e
varia de 1 a 0. A parametrização pode ser:
O vetor derivada
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha para cada segmento usando a fórmula:
Integral no Segmento 1:
Portanto,
Integral no Segmento 2:
Portanto,
Vamos calcular essa integral:
Integral no Segmento 3:
Portanto,
Fazendo a substituição
,
, os limites de integração ficam de 1 a 0:
Calculando:
Portanto,
Resposta
A integral de linha total é: