Calcule as integrais de linha:
de F (x, y, z) = raiz3(x z) * i + 1/(1 + y^2) * k sobre a fronteira do triângulo de vértices A0 = (0, 1, 0), A1 = (0, 0, 0) e A2 = (1, 1, 1), orientado no sentido de A0 para A1, seguindo de A1 para A2 e de A2 até A0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo da fronteira de um triângulo com vértices em , e . A orientação do percurso segue de para , depois para e retorna a . Para resolver isso, vamos usar a parametrização das curvas que formam a fronteira do triângulo e calcular a integral para cada segmento.

Passo 2

Vamos dividir a fronteira do triângulo em três segmentos:
  1. De a : de a
  2. De a : de a
  3. De a : de a
Vamos parametrizar cada segmento separadamente.

Passo 3

Segmento 1: De a
Aqui, apenas a coordenada varia de 1 a 0, enquanto e permanecem constantes. Podemos parametrizar como:
O vetor derivada é:
Segmento 2: De a
Aqui, varia de 0 a 1, de 0 a 1, e de 0 a 1. A parametrização pode ser:
O vetor derivada é:
Segmento 3: De a
Aqui, varia de 1 a 0, permanece em 1, e varia de 1 a 0. A parametrização pode ser:
O vetor derivada é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha para cada segmento usando a fórmula:
Integral no Segmento 1:
Portanto,
Integral no Segmento 2:
Portanto,
Vamos calcular essa integral:
Integral no Segmento 3:
Portanto,
Fazendo a substituição , , os limites de integração ficam de 1 a 0:
Calculando:
Portanto,

Resposta

A integral de linha total é:

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